Презентація на тему «Світ многокутників»

Світ многокутників

Многокутники
однорідні
  опуклі
однорідні
  неопуклі
Тіло
Архімеда
Тіло
Платона
опуклі
призми і
антипризми
Тіла
Кеплера-
Пуансо
неопуклі
напівправильні
однорідні
багатогранники
не опуклі призми і
антипризми

Правильними многогранниками
називають опуклі багатогранники, всі грані і всі кути яких рівні, причому грані - правильні багатокутники.
  
    У кожній вершині правильного багатогранника сходиться одне і те ж число ребер.
    Всі двогранні кути при ребрах і всі багатогранні кути при вершинах правильного багатокутника рівні.
    Правильні багатогранники - тривимірний аналог плоских правильних багатокутників.

Правильні многокутники
Скільки ж їх існує?
Розглянемо розгортку вершини багатогранника . Кожна вершина може належати трьом і більше гранях.
Спочатку розглянемо випадок , коли межі багатогранника - рівносторонні трикутники . Оскільки внутрішній кут рівностороннього трикутника дорівнює 60 ° , три таких кута дадуть у розгортці 180 °. Якщо тепер склеїти розгортку в багатогранний кут , вийде тетраедр - багатогранник , в кожній вершині якого зустрічаються три правильні трикутні грані. Якщо додати до розгортці вершини ще один трикутник , в сумі вийде 240 °. Це розгортка вершини октаедра. Додавання п'ятого трикутника дасть кут 300 ° - ми отримуємо розгортку вершини ікосаедра . Якщо ж додати ще один , шостий трикутник , сума кутів стане рівною 360 ° - ця розгортка , очевидно , не може відповідати жодному опуклому багатограннику .

Тепер перейдемо до квадратних гранях. Розгортка з трьох квадратних граней має кут 3x90 ° = 270 ° - виходить вершина куба , який також називають Гексаедр . Додавання ще одного квадрата збільшить кут до 360 ° - цієї розгортці вже не відповідає ніякої опуклий багатогранник .
Три п'ятикутні грані дають кут розгортки 3 * 108 ° = 324 - вершина додекаедра . Якщо додати ще один п'ятикутник , отримаємо більше 360 ° - тому зупиняємося .
Для шестикутників вже три грані дають кут розгортки
3 * 120 ° = 360 ° , тому правильного опуклого багатогранника з шестикутними гранями не існує. Якщо ж грань має ще більше кутів , то розгортка матиме ще більший кут . Значить , правильних опуклих багатогранників з гранями , що мають шість і більше кутів , не існує.

Зробимо висновок:
Ми переконалися, що існує лише п'ять опуклих правильних багатогранників - тетраедр, октаедр і ікосаедр з трикутними гранями, куб (гексаедр) з квадратними гранями і додекаедр з п'ятикутними гранями.
Ці тіла ще називають
  тілами Платона.

вогонь
тетраєдр
ікосаедр
 
октаєдр
 
гексаєдр
Всесвіт
додекаєдр
 
вода
земля
повітря
Починаючи з 7 століття до нашої ери у Стародавній Греції створюються філософські школи, в яких відбувається поступовий перехід від практичної до філософської геометрії. Велике значення в цих школах набувають міркування, за допомогою яких вдалося отримувати нові геометричні властивості.
Однією з перших і найвідоміших шкіл була Пифагорейская, названа на честь свого засновника Піфагора.
Відмітною знаком піфагорійців була пентаграма, мовою математики-це правильний неопуклий або зірчастий п'ятикутник.
Пентаграмме присвоювалося здатність захищати людину від злих духів. Існування тільки п'яти правильних багатогранників відносили до будови матерії і Всесвіту. Піфагорійці, а потім Платон вважали, що матерія складається з чотирьох основних елементів: вогню, землі, повітря та води.
Згідно з їх думку, атоми основних елементів повинні мати форму різних Платонових тіл.

Число = В-Р + Г називається ейлеровой характеристикою багатогранника. Згідно з теоремою Ейлера, для опуклого багатогранника ця характеристика дорівнює 2. Те, що ейлерова характеристика дорівнює 2 для деяких знайомих нам багатогранників, видно з таблиці.
Теорема Ейлера. Нехай В -число вершин опуклого багатогранника, Р-число його ребер і Г -число граней.
Тоді вірно рівність В-Р + Г = 2

Число вершин мінус число ребер плюс число граней дорівнює двом.           
Теорема Эйлера
В – Р + Г = 2

Тетраєдр
Ікосаєдр
Гексаєдр
Додекаєдр
Октаєдр

Тіла Архімеда
Архімедови тілами називаються напівправильні однорідні опуклі багатогранники, тобто опуклі багатогранники, всі багатогранні кути яких рівні, а грані - правильні багатокутники декількох типів.

Тіла
Архімеда
Тіло
Ашкінузе

Тіла
Кеплера - Пуансо
Серед неопуклих однорідних багатогранників існують аналоги Платонових тіл - чотири правильні неопуклих однорідних багатогранника або тіла Кеплера - Пуансо.
Як випливає з їхньої назви, тіла Кеплера-Пуансо - це неопуклі однорідні багатогранники, всі грані яких - однакові правильні багатокутники, і всі багатогранні кути яких рівні. Грані при цьому можуть бути як опуклими, так і неопуклого.

великий зірчастий
додекаедр
великий ікосаедр
малий зірчастий
додекаедр

Магнус Веннинджер (1919г.р.)

Багатогранники в мистецтві
В епоху Відродження великий інтерес до форм правильних багатогранників проявили скульптори. архітектори, художники. Леонардо да Вінчі (1452 -1519) наприклад, захоплювався теорією багатогранників і часто зображував їх на своїх полотнах. Він проілюстрував правильними і напівправильними многогранниками книгу Ченця Луки Пачолі'' Про божественної пропорції.''
Знаменитий художник, що захоплювався геометрією Альбрехт Дюрер (1471 - 1528), в відомій гравюрі'' Меланхолія'' на передньому плані зобразив додекаедр.
художник Ешер

Наука геометрія виникла з практичних завдань , її пропозиції висловлюють реальні факти і знаходять численні застосування . В кінцевому рахунку в основі всієї техніки так чи інакше лежить геометрія , тому що вона з'являється всюди, де потрібна хоча б найменша точність у визначенні форми і розмірів. І техніку, і інженеру , і кваліфікованому робітникові і людям мистецтва геометричне уяву необхідно , як геометру або архітекторові. Математика , зокрема геометрія , являє собою могутній інструмент пізнання природи , створення техніки і перетворення світу .
Різні геометричні форми знаходять своє відображення практично у в усіх галузях знань: архітектура , мистецтво.
Багатогранники в архітектурі
    У всьому вигляді японського будови очевидна ідея перетворення простору, підпорядкування його нової логіці - логіці "завоювання" природного ландшафту, якому протиставлена ​​чітка геометрія проникаючих архітектурних форм.

Велика піраміда в Гізі. Ця грандіозна Єгипетська піраміда є найдавнішим з Семи чудес давнини. Крім того, це єдине з чудес, що збереглося до наших днів. У часи свого створення Велика піраміда була найвищою спорудою в світі. І утримувала вона цей рекорд, по всій видимості, майже 4000 років.
Велика піраміда була побудована як гробниця Хуфу, відомого грекам як Хеопс. Він був одним з фараонів, або царів давнього Єгипту, а його гробниця була завершена в 2580 до н.е. Пізніше в Гізі було збудовано ще дві піраміди, для сина і онука Хуфу, а також менші за розмірами піраміди для їх цариць. Піраміда Хуфу, сама далека на малюнку, є найбільшою. Піраміда його сина знаходиться в середині і виглядає вище, тому що стоїть на більш високому місці.
 Царські гробниці

БУДІВНИЦТВО ПІРАМІД
Піраміди стоять на давньому цвинтарі в Гізі, на протилежному від Каїра, столиці сучасного Єгипту, березі річки Ніл. Деякі археологи вважають, що, можливо, на будівництво Великої піраміди 100 000 чоловік знадобилося 20 років. Вона була створена з більш ніж 2 мільйонів кам'яних блоків, кожен з яких важив не менше 2,5 тонн. Робочі підтаскували їх до місця, використовуючи пандуси, блоки і важелі, а потім підганяли один до одного, без розчину. 

ОСТРІВ І МАЯК
Маяк був побудований на маленькому острові Фарос в Середземному морі, біля берегів Олександрії. Цей жвавий порт заснував Олександр Великий під час відвідин Єгипту. Спорудження назвали по імені острова. На його будівництво, має бути, пішло 20 років, а завершений він був близько 280 р. до н.е., у часи правління Птолемея II, царя Єгипту. 
ТРИ БАШНІ
Фаросский маяк складався з трьох мармурових башт, які стояли на підставі з
  масивних кам'яних блоків. Перша башта була прямокутна, в ній були кімнати, в яких жили робітники і солдати. Над цією вежею розташовувалася менша, восьмикутна вежа зі спіральним пандусом, провідним у верхню вежу.

У III столітті до н.е. був побудований маяк, щоб кораблі могли благополучно минути рифи на шляху в Олександрійську бухту. Вночі їм допомагало в цьому відображення язиків полум'я, а вдень - стовп диму. Це був перший у світі маяк, і простояв він 1500 років. 
Александрівський маяк.

У III столітті до н.е. був побудований маяк, щоб кораблі могли благополучно минути рифи на шляху в Олександрійську бухту. Вночі їм допомагало в цьому відображення язиків полум'я, а вдень - стовп диму. Це був перший у світі маяк, і простояв він 1500 років. 
Александрівський маяк.

Дякую за увагу :)