Презентація на тему «Комбінації геометричних тіл» (варіант 1)
843
Слайд #1
Комбінації геометричних тіл
Слайд #2
Приклади комбінації фігур
Слайд #3
Можливі типи комбінацій геометричних тіл
1. Многогранник і многогранник (призма вписана в піраміду,
або піраміда вписана в призму, та інші)
2. Многогранник і тіло обертання
(піраміда вписана в конус або циліндр або кулю; циліндр, вписаний в піраміду або призму; куля вписана або описана навколо піраміди та інші.)
3. Тіло обертання і тіло обертання
(конус вписаний в циліндр, куля описана навколо циліндра,та інші.)
1. Многогранник і многогранник (призма вписана в піраміду,
або піраміда вписана в призму, та інші)
2. Многогранник і тіло обертання
(піраміда вписана в конус або циліндр або кулю; циліндр, вписаний в піраміду або призму; куля вписана або описана навколо піраміди та інші.)
3. Тіло обертання і тіло обертання
(конус вписаний в циліндр, куля описана навколо циліндра,та інші.)
Слайд #4
Описані навколо многогранників (призм) кулі
1. Кулю називають описаною навколо многогранника, якщо всі вершини многогранника лежать на поверхні кулі(сфери). В цьому випадку многогранник називають вписаним в кулю.
О
А
В
С
С1
В1
А1
2. Центр кулі, описаної навколо многогранника, рівновіддалений від всіх його вершин. АО=ВО=ОВ1=….=Rкулі.
О1
О2
3. Центр кулі, описаної навколо прямої призми, лежить на середині висоти, яка з`єднує центри кіл, описаних навколо основ призми.
H= О1О2 -висота призми,
R- радіус кулі,
r- радіус кола описаного навколо
основи призми:
Rкулі
r
1. Кулю називають описаною навколо многогранника, якщо всі вершини многогранника лежать на поверхні кулі(сфери). В цьому випадку многогранник називають вписаним в кулю.
О
А
В
С
С1
В1
А1
2. Центр кулі, описаної навколо многогранника, рівновіддалений від всіх його вершин. АО=ВО=ОВ1=….=Rкулі.
О1
О2
3. Центр кулі, описаної навколо прямої призми, лежить на середині висоти, яка з`єднує центри кіл, описаних навколо основ призми.
H= О1О2 -висота призми,
R- радіус кулі,
r- радіус кола описаного навколо
основи призми:
Rкулі
r
Слайд #5
Описані навколо многогранників (призм) кулі
(продовження)
D
A
C
B
A1
C1
D1
B1
1. Кулю можна описати навколо призми, тільки якщо вона пряма і її основа многокутник навколо якого можна описати коло.
О
2. Центр кулі, описаної навколо прямокутного паралелепіпеда,лежить
в точці перетину діагоналей паралелепіпеда, а кожна його діагональ є діаметром описаної кулі.
АС1=dкулі=2R
Кулю можна описати навколо призми
якщо в основі лежить прямокутник,
квадрат.
(продовження)
D
A
C
B
A1
C1
D1
B1
1. Кулю можна описати навколо призми, тільки якщо вона пряма і її основа многокутник навколо якого можна описати коло.
О
2. Центр кулі, описаної навколо прямокутного паралелепіпеда,лежить
в точці перетину діагоналей паралелепіпеда, а кожна його діагональ є діаметром описаної кулі.
АС1=dкулі=2R
Кулю можна описати навколо призми
якщо в основі лежить прямокутник,
квадрат.
Слайд #6
Завдання:
Розв`язання:
А
В
С
С1
В1
А1
Rкулі
r
О1
О2
О
3.Якщо n=6,то в основі призми
правильний шестикутник.
ВО1= а - як радіус описаного кола.
4.Якщо n=3,то
Якщо n=4,то
Якщо n=6,то
Відповідь:
1. Якщо n=3, то трикутник в основі призми рівносторонній.
ВО1= - як радіус описаного навколо
рівностороннього трикутника кола
2. Якщо n=4,то в основі призми квадрат.
ВО1= - як радіус описаного навколо
квадрата кола.
Правильну n-кутну призму вписано у кулю радіуса R. Ребро основи призми дорівнює а. Знайдіть висоту призми, якщо: 1) n=3, 2) n=4,
3) n=6.
Розв`язання:
А
В
С
С1
В1
А1
Rкулі
r
О1
О2
О
3.Якщо n=6,то в основі призми
правильний шестикутник.
ВО1= а - як радіус описаного кола.
4.Якщо n=3,то
Якщо n=4,то
Якщо n=6,то
Відповідь:
1. Якщо n=3, то трикутник в основі призми рівносторонній.
ВО1= - як радіус описаного навколо
рівностороннього трикутника кола
2. Якщо n=4,то в основі призми квадрат.
ВО1= - як радіус описаного навколо
квадрата кола.
Правильну n-кутну призму вписано у кулю радіуса R. Ребро основи призми дорівнює а. Знайдіть висоту призми, якщо: 1) n=3, 2) n=4,
3) n=6.
Слайд #7
С1
В1
А1
А
В
С
1.Кулю можна вписати в пряму призму,
якщо її основи є многокутниками,
описаними навколо кола, а висота
призми дорівнює діаметру кулі і
діаметру цього кола.
Вписані в многогранники (призми) кулі
О1
О2
О
2. Центр кулі,вписаної в пряму призму,
лежить на середині відрізка, який
з'єднує центри кіл, вписаних в основи
призми.
R
r
3. Радіус кулі дорівнює радіусу кола,
вписаного в основу призми, а діаметр
кулі дорівнює висоті призми.
4. R-радіус кулі,
r- радіус кола,вписаного в основу
призми,
H = О1О2 - висота призми і діаметр кулі.
В1
А1
А
В
С
1.Кулю можна вписати в пряму призму,
якщо її основи є многокутниками,
описаними навколо кола, а висота
призми дорівнює діаметру кулі і
діаметру цього кола.
Вписані в многогранники (призми) кулі
О1
О2
О
2. Центр кулі,вписаної в пряму призму,
лежить на середині відрізка, який
з'єднує центри кіл, вписаних в основи
призми.
R
r
3. Радіус кулі дорівнює радіусу кола,
вписаного в основу призми, а діаметр
кулі дорівнює висоті призми.
4. R-радіус кулі,
r- радіус кола,вписаного в основу
призми,
H = О1О2 - висота призми і діаметр кулі.
Слайд #8
Завдання:
Знайдіть радіус кулі,вписаної в куб
з ребром 6см.
Розв`язання:
6см
О1
О2
О
D
A
C
B
1. Будуємо переріз куба.
D
A
C
B
6см
О1
О2
О
R
2. Радіус вписаної кулі дорівнює
радіусу вписаного в квадрат АВСD кола: R=О1О2:2 = 6:2 = =3(см)
Відповідь: R=3см.
Знайдіть радіус кулі,вписаної в куб
з ребром 6см.
Розв`язання:
6см
О1
О2
О
D
A
C
B
1. Будуємо переріз куба.
D
A
C
B
6см
О1
О2
О
R
2. Радіус вписаної кулі дорівнює
радіусу вписаного в квадрат АВСD кола: R=О1О2:2 = 6:2 = =3(см)
Відповідь: R=3см.
Слайд #9
Описані навколо пірамід кулі
S
A
B
C
1. Кулю називають описаною навколо піраміди, якщо всі вершини піраміди лежать на поверхні кулі.
О1
О
2. О1 - центр кулі; АО1=Rкулі ; О - центр кола описаного навколо основи.
Rкулі
3. Центр кулі,описаної навколо довільної піраміди лежить на прямій,перпендикулярній площині основи, яка проходить через центр кола,описаного навколо основи, в точці перетину цієї прямої з площиною,яка перпендикулярна до бічного ребра і проходить через його середину.
М
ОО1 ┴ (АВС); М - середина SA;
α ┴ SA(М α );
α перетинає ОО1 в точці О1.
4. Центр кулі може знаходитись:
в середині піраміди;
в площині основи;
поза пірамідою.
S
A
B
C
1. Кулю називають описаною навколо піраміди, якщо всі вершини піраміди лежать на поверхні кулі.
О1
О
2. О1 - центр кулі; АО1=Rкулі ; О - центр кола описаного навколо основи.
Rкулі
3. Центр кулі,описаної навколо довільної піраміди лежить на прямій,перпендикулярній площині основи, яка проходить через центр кола,описаного навколо основи, в точці перетину цієї прямої з площиною,яка перпендикулярна до бічного ребра і проходить через його середину.
М
ОО1 ┴ (АВС); М - середина SA;
α ┴ SA(М α );
α перетинає ОО1 в точці О1.
4. Центр кулі може знаходитись:
в середині піраміди;
в площині основи;
поза пірамідою.
Слайд #10
Описані навколо пірамід кулі (продовження)
S
A
B
C
D
1. Якщо вершина піраміди проектується в центр кола описаного навколо основи, то центр описаної кулі лежить на прямій, яка містить висоту піраміди в точці перетину цієї прямої з серединним перпендикуляром до бічного ребра.
О1
О
r
R
M
SO - висота піраміди; О-центр кола описаного навколо основи піраміди;
АО = r - радіус кола описаного навколо основи піраміди;
М-середина ребра SА,
МО1∩SА=О1-центр описаної кулі
S1
┐
2. Якщо центр описаної кулі лежить на висоті піраміди або на її продовженні, то при розв`язанні деяких задач можна продовжити висоту піраміди до перетину з кулею в точці S1 і з`єднати S1 з А. Тоді SS1 -діаметр кулі SAS1 - прямий, як вписаний кут, який спирається на діаметр.
S
A
B
C
D
1. Якщо вершина піраміди проектується в центр кола описаного навколо основи, то центр описаної кулі лежить на прямій, яка містить висоту піраміди в точці перетину цієї прямої з серединним перпендикуляром до бічного ребра.
О1
О
r
R
M
SO - висота піраміди; О-центр кола описаного навколо основи піраміди;
АО = r - радіус кола описаного навколо основи піраміди;
М-середина ребра SА,
МО1∩SА=О1-центр описаної кулі
S1
┐
2. Якщо центр описаної кулі лежить на висоті піраміди або на її продовженні, то при розв`язанні деяких задач можна продовжити висоту піраміди до перетину з кулею в точці S1 і з`єднати S1 з А. Тоді SS1 -діаметр кулі SAS1 - прямий, як вписаний кут, який спирається на діаметр.
Слайд #11
Завдання:
Доведіть, що центр кулі, описаної навколо правильної піраміди,
лежить на її осі.
Розв`язання:
А
О
1. Точка О-центр описаної кулі Опустимо перпендикуляр ОА з центра кулі на площину основи піраміди.
2. Нехай Х - довільна вершина основи піраміди.
Х
3. За теоремою Піфагора АХ2=ОХ2-ОА2=R2-OA2.Таким чином, АХ одне і те саме для будь-якої вершини основи піраміди. А це означає, що точка А є центром кола,описаного навколо основи піраміди. Отже центр кулі лежить на осі піраміди, що і потрібно було довести.
R
Доведіть, що центр кулі, описаної навколо правильної піраміди,
лежить на її осі.
Розв`язання:
А
О
1. Точка О-центр описаної кулі Опустимо перпендикуляр ОА з центра кулі на площину основи піраміди.
2. Нехай Х - довільна вершина основи піраміди.
Х
3. За теоремою Піфагора АХ2=ОХ2-ОА2=R2-OA2.Таким чином, АХ одне і те саме для будь-якої вершини основи піраміди. А це означає, що точка А є центром кола,описаного навколо основи піраміди. Отже центр кулі лежить на осі піраміди, що і потрібно було довести.
R
Слайд #12
Вписана в піраміду куля
1. Куля називається вписаною в піраміду, якщо всі грані піраміди дотикаються до кулі.
О1
К
В
А
С
S
О1 - центр кулі, К - точка дотику з гранню (SАС);
О1К=r (радіус кулі), О1К ┴(SАС).
2. Якщо вершина піраміди проектується в центр кола, вписаного в основу, то центр вписаної кулі лежить на висоті піраміди, в точці перетину висоти з бісектрисою лінійного кута двогранного кута при основі піраміди.
О
SО - висота піраміди, О - центр кола,
вписаного в основу піраміди, О1О=r.
M
┐
┐
МО1 - бісектриса SМО.
SM ┴ ВС і ОМ ┴ ВС, тому SМО - лінійний кут двогранного кута при основі .
ОМ - радіус кола,вписаного в основу піраміди.
1. Куля називається вписаною в піраміду, якщо всі грані піраміди дотикаються до кулі.
О1
К
В
А
С
S
О1 - центр кулі, К - точка дотику з гранню (SАС);
О1К=r (радіус кулі), О1К ┴(SАС).
2. Якщо вершина піраміди проектується в центр кола, вписаного в основу, то центр вписаної кулі лежить на висоті піраміди, в точці перетину висоти з бісектрисою лінійного кута двогранного кута при основі піраміди.
О
SО - висота піраміди, О - центр кола,
вписаного в основу піраміди, О1О=r.
M
┐
┐
МО1 - бісектриса SМО.
SM ┴ ВС і ОМ ┴ ВС, тому SМО - лінійний кут двогранного кута при основі .
ОМ - радіус кола,вписаного в основу піраміди.
Слайд #13
Завдання:
Висота правильної чотирикутної піраміди 3см. Апофема утворює з площиною основи кут 60°.З найдіть радіус кулі вписаної в піраміду.
Розв`язання:
M
┐
┐
О1
S
О
60º
3. Із прямокутного трикутника
ОSM ОM=SOctg60°= (cм).
4. Із прямокутного трикутника
ОО1M ОО1=МOtg30°= 1(cм).
Відповідь: r = 1см.
1. SO=H=6см - висота піраміди;
О1- центр вписаної кулі; О1О = r -
радіус вписаної кулі; SМО=60º.
2. МО1 - бісектриса SМО, тому
О1МО=30º.
Висота правильної чотирикутної піраміди 3см. Апофема утворює з площиною основи кут 60°.З найдіть радіус кулі вписаної в піраміду.
Розв`язання:
M
┐
┐
О1
S
О
60º
3. Із прямокутного трикутника
ОSM ОM=SOctg60°= (cм).
4. Із прямокутного трикутника
ОО1M ОО1=МOtg30°= 1(cм).
Відповідь: r = 1см.
1. SO=H=6см - висота піраміди;
О1- центр вписаної кулі; О1О = r -
радіус вписаної кулі; SМО=60º.
2. МО1 - бісектриса SМО, тому
О1МО=30º.
Слайд #14
Циліндр, вписаний у кулю
2. Основи циліндра рівновіддалені від центра кулі.
О2
О1
О
3. Ця комбінація тіл симетрична відносно будь-якої площини, що проходить через центр кулі паралельно твірним циліндра.
4. Переріз тіла такою площиною є прямокутник АВСD і описане навколо нього коло.
А
В
С
D
5. Прямокутник АВСD є осьовим перерізом циліндра, а описане коло – велике коло даної кулі.
О
А
С
D
6. Діагональ АС є діаметром описаної кулі.
B
1. Куля називається описаною навколо циліндра,якщо основи циліндра є паралельними перерізами кулі.
7. Центр описаної кулі лежить на середині висоти циліндра, яка проходить через вісь циліндра: R2=(0,5H)2 + r2
AD= R-радіус кулі
DE=r-радіус циліндра
H-висота циліндра
E
r
R
2. Основи циліндра рівновіддалені від центра кулі.
О2
О1
О
3. Ця комбінація тіл симетрична відносно будь-якої площини, що проходить через центр кулі паралельно твірним циліндра.
4. Переріз тіла такою площиною є прямокутник АВСD і описане навколо нього коло.
А
В
С
D
5. Прямокутник АВСD є осьовим перерізом циліндра, а описане коло – велике коло даної кулі.
О
А
С
D
6. Діагональ АС є діаметром описаної кулі.
B
1. Куля називається описаною навколо циліндра,якщо основи циліндра є паралельними перерізами кулі.
7. Центр описаної кулі лежить на середині висоти циліндра, яка проходить через вісь циліндра: R2=(0,5H)2 + r2
AD= R-радіус кулі
DE=r-радіус циліндра
H-висота циліндра
E
r
R
Слайд #15
Завдання:
У кулю вписано рівносторонній
циліндр(висота циліндра дорівнює його діаметру). У скільки разів площа великого круга кулі більша за площу основи циліндра?
О1
О2
О
А
В
Розв`язання:
2. S осн.ц.=π rц2
1. АВ=О1О2=Нц=2rц
3. Із прямокутного рівнобедреного трикутника
ОО1В ОВ=Rк=
rц
4. Sк=π (rц ) 2 = 2π rц2
5. Sк: Sос.ц.=( 2π rц2):( π rц2)=2
Відповідь: у 2 рази.
У кулю вписано рівносторонній
циліндр(висота циліндра дорівнює його діаметру). У скільки разів площа великого круга кулі більша за площу основи циліндра?
О1
О2
О
А
В
Розв`язання:
2. S осн.ц.=π rц2
1. АВ=О1О2=Нц=2rц
3. Із прямокутного рівнобедреного трикутника
ОО1В ОВ=Rк=
rц
4. Sк=π (rц ) 2 = 2π rц2
5. Sк: Sос.ц.=( 2π rц2):( π rц2)=2
Відповідь: у 2 рази.
Слайд #16
Циліндр, описаний навколо кулі
О
О1
О2
2. Точки дотику кулі і основ циліндра є центрами основ циліндра.
3. Площина проведена через центр кулі паралельно твірним циліндра, є площиною симетрії тіла.
5. Висота циліндра є діаметром кулі: Н циліндра = О1О2= dкулі
4. Осьовий переріз даного циліндра є квадрат.
rц
О
R
A
B
C
D
D
C
B
A
H
Rк
Куля називається вписаною в циліндр,якщо основи і всі твірні,які утворюють циліндр дотикаються кулі. Кулю можна вписати тільки в рівносторонній циліндр. Rкулі=rциліндра.
О
О1
О2
2. Точки дотику кулі і основ циліндра є центрами основ циліндра.
3. Площина проведена через центр кулі паралельно твірним циліндра, є площиною симетрії тіла.
5. Висота циліндра є діаметром кулі: Н циліндра = О1О2= dкулі
4. Осьовий переріз даного циліндра є квадрат.
rц
О
R
A
B
C
D
D
C
B
A
H
Rк
Куля називається вписаною в циліндр,якщо основи і всі твірні,які утворюють циліндр дотикаються кулі. Кулю можна вписати тільки в рівносторонній циліндр. Rкулі=rциліндра.
Слайд #17
R
Конус, вписаний в кулю
1. Вершина конуса S лежить на сфері.
S
2. Комбінація є симетричною відносно площини, що містить вісь конуса . У такому перерізі маємо трикутник, вписаний у коло.
А
В
О
S
4. Трикутник ASB рівнобедрений . Бічні сторони - твірні конуса, коло – велике коло описаної кулі.
O1
5. Радіус кулі дорівнює радіусу кола , описаного навколо осьового перерізу конуса.
O1
C
3.Трикутник АОS-рівнобедрений
Кут АСО-прямий
АС=СS, R-радіус кулі,
r-радіус конуса,
H-висота конуса,
R2=(H-R)2+r2
r
H
Конус, вписаний в кулю
1. Вершина конуса S лежить на сфері.
S
2. Комбінація є симетричною відносно площини, що містить вісь конуса . У такому перерізі маємо трикутник, вписаний у коло.
А
В
О
S
4. Трикутник ASB рівнобедрений . Бічні сторони - твірні конуса, коло – велике коло описаної кулі.
O1
5. Радіус кулі дорівнює радіусу кола , описаного навколо осьового перерізу конуса.
O1
C
3.Трикутник АОS-рівнобедрений
Кут АСО-прямий
АС=СS, R-радіус кулі,
r-радіус конуса,
H-висота конуса,
R2=(H-R)2+r2
r
H
Слайд #18
Завдання:
У рівносторонній циліндр вписано кулю радіуса R,а в неї вписано рівносторонній конус(осьовий переріз конуса – правильний трикутник). Знайдіть відношення площ бічних поверхонь циліндра і конуса.
Розв`язання:
О1
О2
О3
О
В
А
С
1. Будуємо осьовий переріз циліндра.
2rконуса
rконуса
R
2. R- радіус описаного навколо рівностороннього трикутника із стороною 2rконуса
R =
3. Sц =2πRH=4πR2= πr2
4. Sк=πrl=2πr2
5. Sц: Sк=8:3
Відповідь: 8:3.
У рівносторонній циліндр вписано кулю радіуса R,а в неї вписано рівносторонній конус(осьовий переріз конуса – правильний трикутник). Знайдіть відношення площ бічних поверхонь циліндра і конуса.
Розв`язання:
О1
О2
О3
О
В
А
С
1. Будуємо осьовий переріз циліндра.
2rконуса
rконуса
R
2. R- радіус описаного навколо рівностороннього трикутника із стороною 2rконуса
R =
3. Sц =2πRH=4πR2= πr2
4. Sк=πrl=2πr2
5. Sц: Sк=8:3
Відповідь: 8:3.
Слайд #19
Куля , вписана в конус
S
O
2. Площина, яка містить вісь конуса, є площиною симетрії.
3. Осьовий переріз комбінації є рівнобедрений трикутник, у який вписане коло.
S
A
B
O1
4. Трикутник – це осьовий переріз конуса, SA=SB - твірні конуса, АВ - діаметр основи конуса, коло - велике коло вписаної кулі. Радіус кулі дорівнює радіусу кола вписаного в трикутник ASB.
R
1.Кулю можна вписати в будь-який конус. Куля дотикається основи конуса в його центрі і бічної поверхні конуса по колу,
що лежить в площині, паралельній основі конуса.
H
r
O
R-радіус кулі,
r-радіус конуса,
H-висота конуса
S
O
2. Площина, яка містить вісь конуса, є площиною симетрії.
3. Осьовий переріз комбінації є рівнобедрений трикутник, у який вписане коло.
S
A
B
O1
4. Трикутник – це осьовий переріз конуса, SA=SB - твірні конуса, АВ - діаметр основи конуса, коло - велике коло вписаної кулі. Радіус кулі дорівнює радіусу кола вписаного в трикутник ASB.
R
1.Кулю можна вписати в будь-який конус. Куля дотикається основи конуса в його центрі і бічної поверхні конуса по колу,
що лежить в площині, паралельній основі конуса.
H
r
O
R-радіус кулі,
r-радіус конуса,
H-висота конуса
Слайд #20
Завдання:
Твірна конуса нахилена до площини основи під кутом α. Визначити радіус, висоту і твірну конуса, якщо радіус вписаної в нього кулі r. Обчислити, якщо r = 6см, α=60 °.
S
O
A
B
Розв`язання:
1. Будуємо осьовий переріз конуса.
A
B
О1
О1
S
O
α
r
┐
┐
4. Із АSО( О=90°):
Hц=SO=AO tgα = r tgα ctg 6( )2=18(cм);
SA=AO: cosα = rctg : cosα = 6 : = 12 (см) - твірна.
Відповідь:Rц =6 см,Hц=18см,SA=12 .
2. У рівнобедреному ASB
Центр О1 вписаного кола
лежить на висоті SO. Оскільки
О1О АВ, то О - точка дотику
вписаної кулі до основи конуса.
за умовою, О1О=r. Центром
кола,вписаного в трикутник,є
точка перетину його бісектрис.
Тому, О1АО =
= rctg = 6ctg30° =6 (cм)
3. Із АО1О( О=90°):
Rц= ОА = О1Оctg
Твірна конуса нахилена до площини основи під кутом α. Визначити радіус, висоту і твірну конуса, якщо радіус вписаної в нього кулі r. Обчислити, якщо r = 6см, α=60 °.
S
O
A
B
Розв`язання:
1. Будуємо осьовий переріз конуса.
A
B
О1
О1
S
O
α
r
┐
┐
4. Із АSО( О=90°):
Hц=SO=AO tgα = r tgα ctg 6( )2=18(cм);
SA=AO: cosα = rctg : cosα = 6 : = 12 (см) - твірна.
Відповідь:Rц =6 см,Hц=18см,SA=12 .
2. У рівнобедреному ASB
Центр О1 вписаного кола
лежить на висоті SO. Оскільки
О1О АВ, то О - точка дотику
вписаної кулі до основи конуса.
за умовою, О1О=r. Центром
кола,вписаного в трикутник,є
точка перетину його бісектрис.
Тому, О1АО =
= rctg = 6ctg30° =6 (cм)
3. Із АО1О( О=90°):
Rц= ОА = О1Оctg
Слайд #21
Циліндр описаний навколо призми
1. Циліндр називається описаним навколо
призми,якщо його основи - круги, описані
навколо основ призми,а твірні збігаються з ребрами призми.
2. Вісь циліндра співпадає з висотою призми.
Hц
R
3. Радіус циліндра дорівнює радіусу кола описаного навколо основи призми.
Завдання:
У циліндр вписано правильну шестикутну призму. Знайдіть кут між діагоналлю її бічної грані і віссю циліндра, якщо радіус основи дорівнює висоті циліндра.
Розв`язання:
1. Бічні грані призми - квадрати, оскільки сторона правильного шестикутника, вписаного у коло, дорівнює радіусу.
R
R
R
2. Бічні ребра призми паралельні осі циліндра, тому кут між діагоналлю грані і віссю циліндра дорівнює куту між діагоналлю і бічним ребром.
Оскільки грані – квадрати, то цей кут дорівнює 45º.
Відповідь: 45°.
1. Циліндр називається описаним навколо
призми,якщо його основи - круги, описані
навколо основ призми,а твірні збігаються з ребрами призми.
2. Вісь циліндра співпадає з висотою призми.
Hц
R
3. Радіус циліндра дорівнює радіусу кола описаного навколо основи призми.
Завдання:
У циліндр вписано правильну шестикутну призму. Знайдіть кут між діагоналлю її бічної грані і віссю циліндра, якщо радіус основи дорівнює висоті циліндра.
Розв`язання:
1. Бічні грані призми - квадрати, оскільки сторона правильного шестикутника, вписаного у коло, дорівнює радіусу.
R
R
R
2. Бічні ребра призми паралельні осі циліндра, тому кут між діагоналлю грані і віссю циліндра дорівнює куту між діагоналлю і бічним ребром.
Оскільки грані – квадрати, то цей кут дорівнює 45º.
Відповідь: 45°.
Слайд #22
Циліндр вписаний в призму
2. Циліндром, вписаним в призму, називається циліндр, основи якого -круги, вписані в основи призми, а бічна поверхня циліндра дотикається бічних граней призми.
3. Вісь циліндра співпадає з висотою призми.
Hц
r
4. Радіус циліндра дорівнює радіусу кола вписаного в основу призми.
1. Дотичною площиною до циліндра називається площина,яка проходить через твірну циліндра й перпендикулярна до площини осьового перерізу, що містить цю твірну.
α ┴ β.
О1
О2
α
β
2. Циліндром, вписаним в призму, називається циліндр, основи якого -круги, вписані в основи призми, а бічна поверхня циліндра дотикається бічних граней призми.
3. Вісь циліндра співпадає з висотою призми.
Hц
r
4. Радіус циліндра дорівнює радіусу кола вписаного в основу призми.
1. Дотичною площиною до циліндра називається площина,яка проходить через твірну циліндра й перпендикулярна до площини осьового перерізу, що містить цю твірну.
α ┴ β.
О1
О2
α
β
Слайд #23
Піраміда вписана в конус
S
1. Конус називається описаним навколо піраміди,якщо його основа - круг, описаний навколо основи піраміди,вершина співпадає з вершиною піраміди,а твірні збігаються з ребрами піраміди.
Н
О
2. Висоти конуса і піраміди збігаються на основі єдиності прямої, перпендикулярної до площини і проведеної через точку, яка не лежить у даній площині.
R - радіус конуса, який дорівнює радіусу описаного навколо основи піраміди кола.
R
Завдання:
Усі бічні ребра піраміди рівні Доведіть,що вона вписана у деякий конус.
Розв`язання:
1. SO- перпендикуляр, опущений з вершини піраміди на площину основи;
SA- довжина бічного ребра.
А
2. Вершини основи віддалені від точки О на одну й ту ж відстань
3. Звідси випливає,що наша піраміда вписана в конус, вершина якого є вершиною піраміди, а основа - круг з центром О і радіусом R, що і потрібно було довести.
S
1. Конус називається описаним навколо піраміди,якщо його основа - круг, описаний навколо основи піраміди,вершина співпадає з вершиною піраміди,а твірні збігаються з ребрами піраміди.
Н
О
2. Висоти конуса і піраміди збігаються на основі єдиності прямої, перпендикулярної до площини і проведеної через точку, яка не лежить у даній площині.
R - радіус конуса, який дорівнює радіусу описаного навколо основи піраміди кола.
R
Завдання:
Усі бічні ребра піраміди рівні Доведіть,що вона вписана у деякий конус.
Розв`язання:
1. SO- перпендикуляр, опущений з вершини піраміди на площину основи;
SA- довжина бічного ребра.
А
2. Вершини основи віддалені від точки О на одну й ту ж відстань
3. Звідси випливає,що наша піраміда вписана в конус, вершина якого є вершиною піраміди, а основа - круг з центром О і радіусом R, що і потрібно було довести.
Слайд #24
2. Радіус вписаного в основу піраміди кола (круга) перпендикулярний стороні многокутника, який лежить в основі піраміди, і є проекцією твірної конуса на площину основи.
Конус вписаний в піраміду
S
1. Конусом, вписаним в піраміду, називається конус, основа якого – круг, вписаний у многокутник основи піраміди, вершина співпадає з вершиною піраміди, бічна поверхня конуса дотикається бічних граней піраміди.
Дотичною площиною до конуса називається площина,яка проходить через твірну конуса і перпендикулярна до площини осьового перерізу, проведеного через цю твірну.
Н
О
r
┐
Конус вписаний в піраміду
S
1. Конусом, вписаним в піраміду, називається конус, основа якого – круг, вписаний у многокутник основи піраміди, вершина співпадає з вершиною піраміди, бічна поверхня конуса дотикається бічних граней піраміди.
Дотичною площиною до конуса називається площина,яка проходить через твірну конуса і перпендикулярна до площини осьового перерізу, проведеного через цю твірну.
Н
О
r
┐
Слайд #25
Конус вписаний у циліндр
О1
О
1. Основа конуса збігається з нижньою основою циліндра, вершина конуса – центр верхньої основи циліндра.
2. Осі, висоти, радіуси циліндра і конуса збігаються.
R
Завдання:
Знайти висоту описаного навколо конуса циліндра, якщо твірна конуса нахилена до площини основи під кутом 30º і дорівнює 8 см.
Розв`язання:
А
30º
1. В прямокутному трикутнику ∆ АОО1: кут О1АО дорівнює 30º, як кут між похилою та площиною основи.
8 см
2. Катет, який лежить проти кута в 30º вдвічі менше гіпотенузи. Тому висота циліндра дорівнює 8:2=4(см).
Відповідь: 4 см.
О1
О
1. Основа конуса збігається з нижньою основою циліндра, вершина конуса – центр верхньої основи циліндра.
2. Осі, висоти, радіуси циліндра і конуса збігаються.
R
Завдання:
Знайти висоту описаного навколо конуса циліндра, якщо твірна конуса нахилена до площини основи під кутом 30º і дорівнює 8 см.
Розв`язання:
А
30º
1. В прямокутному трикутнику ∆ АОО1: кут О1АО дорівнює 30º, як кут між похилою та площиною основи.
8 см
2. Катет, який лежить проти кута в 30º вдвічі менше гіпотенузи. Тому висота циліндра дорівнює 8:2=4(см).
Відповідь: 4 см.
Слайд #26
Об'єми тіл
Для простих тіл об'єм(V) - це додатна величина,числове значення якої має такі властивості:
V1
V2
=
1. Рівні тіла мають рівні об'єми.
V
V1
V2
=
+
2. Якщо тіло розбито на частини, які є простими тілами,то об'єм цього тіла дорівнює сумі об'ємів його частин.
3. Об'єм куба,ребро якого дорівнює одиниці довжини, дорівнює одиниці.
1(мм,см,м..)
V=1 (мм3,см3,м3..)
Для простих тіл об'єм(V) - це додатна величина,числове значення якої має такі властивості:
V1
V2
=
1. Рівні тіла мають рівні об'єми.
V
V1
V2
=
+
2. Якщо тіло розбито на частини, які є простими тілами,то об'єм цього тіла дорівнює сумі об'ємів його частин.
3. Об'єм куба,ребро якого дорівнює одиниці довжини, дорівнює одиниці.
1(мм,см,м..)
V=1 (мм3,см3,м3..)
Слайд #27
Об'єм призми
1. Об'єм будь-якої призми дорівнює добутку площі основи та висоти.
Vпр=SоснH.
Sосн
H
2. Для прямокутного паралелепіпеда
V=abc, де a, b, c- його виміри.
a
b
c
3. Для куба V=а3, де а- довжина ребра.
a
4.Для похилої призми об'єм можна обчислити як добуток площі перпендикулярного та довжини бічного ребра.
V=Ql.
┐
l
Q
1. Об'єм будь-якої призми дорівнює добутку площі основи та висоти.
Vпр=SоснH.
Sосн
H
2. Для прямокутного паралелепіпеда
V=abc, де a, b, c- його виміри.
a
b
c
3. Для куба V=а3, де а- довжина ребра.
a
4.Для похилої призми об'єм можна обчислити як добуток площі перпендикулярного та довжини бічного ребра.
V=Ql.
┐
l
Q
Слайд #28
Об'єм піраміди
S
Н
О
1. Об'єм будь-якої піраміди дорівнює третині добутку площі
її основи та висоти: V= SоснH.
2.Об'єми подібних тіл відносяться як куби їх відповідних лінійних розмірів.
Sосн
а1
а2
V1
V2
V1:V2=(a1)3:(a2)3
S
Н
О
1. Об'єм будь-якої піраміди дорівнює третині добутку площі
її основи та висоти: V= SоснH.
2.Об'єми подібних тіл відносяться як куби їх відповідних лінійних розмірів.
Sосн
а1
а2
V1
V2
V1:V2=(a1)3:(a2)3
Слайд #29
Об'єми круглих тіл
1.Об'єм циліндра дорівнює добутку площі його основи та висоти.
Vц= SоснH
Vц= πR2H.
2.Об'єм конуса дорівнює одній третині добутку площі його основи та висоти.
Vц= SоснH
Vц= πR2H.
Н
Sосн
3.Об'єм кулі
Vк= πR3.
Н
R
Vкульового сегмента
=πH2(R- )
Vкульового сектора
= πR2H
1.Об'єм циліндра дорівнює добутку площі його основи та висоти.
Vц= SоснH
Vц= πR2H.
2.Об'єм конуса дорівнює одній третині добутку площі його основи та висоти.
Vц= SоснH
Vц= πR2H.
Н
Sосн
3.Об'єм кулі
Vк= πR3.
Н
R
Vкульового сегмента
=πH2(R- )
Vкульового сектора
= πR2H
Слайд #30
Тестові завдання
1.Навколо кулі, радіусом 2см, описано куб. Знайти об`єм куба.
а) 8см3 б)16см3 г) 128см3
в) 64см3
2. Осьовим перерізом циліндра є прямокутник зі сторонами 6см і 4см. Більша сторона прямокутника є твірною циліндра.Знайти об`єм циліндра.
б) 12πсм3 tв) 48πсм3 tг)12см3
а) 24πсм3
3. Основою прямої призми є прямокутний трикутник з катетами 5см і 8см.Знайти об`єм призми, якщо її бічне ребро дорівнює 10см.
а) 400см3 tв) 130см3 t г) 390см3
б) 200см3
4. Прямокутний трикутник з катетами 3см і 4см обертається навколо більшого катета. Знайти об`єм тіла обертання.
а) 48πсм3 tв) 36πсм3 tг) 15πсм3
б) 12πсм3
5. Основою піраміди є ромб зі стороною 5см і висотою 4см.Знайти об`єм піраміди, якщо її висота дорівнює 9см.
а) 90см3 t б) 180см3 t в) 54см3
г) 60см3
1.Навколо кулі, радіусом 2см, описано куб. Знайти об`єм куба.
а) 8см3 б)16см3 г) 128см3
в) 64см3
2. Осьовим перерізом циліндра є прямокутник зі сторонами 6см і 4см. Більша сторона прямокутника є твірною циліндра.Знайти об`єм циліндра.
б) 12πсм3 tв) 48πсм3 tг)12см3
а) 24πсм3
3. Основою прямої призми є прямокутний трикутник з катетами 5см і 8см.Знайти об`єм призми, якщо її бічне ребро дорівнює 10см.
а) 400см3 tв) 130см3 t г) 390см3
б) 200см3
4. Прямокутний трикутник з катетами 3см і 4см обертається навколо більшого катета. Знайти об`єм тіла обертання.
а) 48πсм3 tв) 36πсм3 tг) 15πсм3
б) 12πсм3
5. Основою піраміди є ромб зі стороною 5см і висотою 4см.Знайти об`єм піраміди, якщо її висота дорівнює 9см.
а) 90см3 t б) 180см3 t в) 54см3
г) 60см3
Слайд #31
Тестові завдання
6. Об'єм кулі дорівнює πсм3. Знайти її діаметр.
а) 4см б) 1см г) см
в) 2см
7. Прямокутник із стороною а і діагоналлю d обертається навколо даної сторони. Визначити об`єм тіла обертання.
б) π(d2+a2)a в) πa2d г) πa2 см3
а) π(d2-a2)a
8. Осьовим перерізом конуса є рівносторонній трикутник зі стороною а Визначити об`єм конуса.
а) в) г)
б)
9. Сторона основи правильної трикутної призми а, а бічне ребро . Визначити об`єм призми.
а) в) г)
б)
10. Основою піраміди є ромб з діагоналями d1 і d2.Знайти об`єм піраміди, якщо її висота дорівнює h.
а) б) в)
г)
6. Об'єм кулі дорівнює πсм3. Знайти її діаметр.
а) 4см б) 1см г) см
в) 2см
7. Прямокутник із стороною а і діагоналлю d обертається навколо даної сторони. Визначити об`єм тіла обертання.
б) π(d2+a2)a в) πa2d г) πa2 см3
а) π(d2-a2)a
8. Осьовим перерізом конуса є рівносторонній трикутник зі стороною а Визначити об`єм конуса.
а) в) г)
б)
9. Сторона основи правильної трикутної призми а, а бічне ребро . Визначити об`єм призми.
а) в) г)
б)
10. Основою піраміди є ромб з діагоналями d1 і d2.Знайти об`єм піраміди, якщо її висота дорівнює h.
а) б) в)
г)
Слайд #32
Література
Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. Математика 5-12 класи-К.Ірпінь,2005.
Г.П. Бевз, В.П. Бевз, Математика 11клас для загальноосвітніх закладів, рівень стандарт,Київ,”Генеза”,2011.
Г.В. Апостолова, Геометрія 11, підручник для загальноосвітніх закладів, академічний, профільний рівень,Київ,”Генеза”,2011.
М.Я.Забелишевська, Математика ЗНО 2009,Київ,”Літера” ЛТД,2009.-320стр.
А.М. Чекова, Геометрія в таблицях. 7-11 класи. Навч. посібник, Харків:Науково-методичний центр, 2003.-168 с.
Л.С. Сухарева, Геометрія. Завдання для усної роботи, математичні диктанти та тести,Харків, “Основа”,2008.
Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. Математика 5-12 класи-К.Ірпінь,2005.
Г.П. Бевз, В.П. Бевз, Математика 11клас для загальноосвітніх закладів, рівень стандарт,Київ,”Генеза”,2011.
Г.В. Апостолова, Геометрія 11, підручник для загальноосвітніх закладів, академічний, профільний рівень,Київ,”Генеза”,2011.
М.Я.Забелишевська, Математика ЗНО 2009,Київ,”Літера” ЛТД,2009.-320стр.
А.М. Чекова, Геометрія в таблицях. 7-11 класи. Навч. посібник, Харків:Науково-методичний центр, 2003.-168 с.
Л.С. Сухарева, Геометрія. Завдання для усної роботи, математичні диктанти та тести,Харків, “Основа”,2008.
