Презентація на тему «Цікаві задачі»

Від деяких цікавих математичних задач віє давниною.

“ Предмет математики настільки серйозний, що корисно не упускати можливості робити його трохи цікавим” (Паскаль)

Задача з єгипетського папірусу Ахмеса Райнда
Сто мір хліба треба розділити між п'ятьма людьми так, щоб другий отримав на стільки ж більше за першого, на скільки третій отримав більше за другого, четвертий більше за третього і п'ятий більше за четвертого. Окрім того, двоє перших повинні отримати в 7 разів менше ніж троє останніх. Скільки треба дати кожному?

Розв'язання
Сто мір хліба треба розділити між п'ятьма людьми, тому S=100,n=5.
Кожний отримає більше за попереднього на одне і те ж число, тобто це – арифметична прогресія. Крім того, двоє перших повинні отримати в 7 разів менше, ніж троє останніх, тобто
Отримуємо систему рівнянь:
Відповідь.
або

Поливання городу
На городі тридцять грядок, кожна довжиною 16м і шириною 2,5 м. Поливаючи грядки, господар приносить відра з водою із криниці, яка розміщена на відстані 14м від краю городу, і обходить грядки по межі, причому за один раз приносить води скільки, що її вистачає полити одну грядку.
Який шлях повинен пройти господар, поливаючи увесь город? Шлях починається і закінчується біля криниці.

Розв'язання
Для поливання першої грядки господар повинен пройти шлях 14+16+2,5+16+2,5+14=65м.
При поливанні другої він проходить
14+2,5+16+2,5+16+2,5+14+2,5=70 м.
Кожна наступна грядка потребує подолати шлях на 5м довший ніж попередній.
Маємо прогресію:
65; 70; 75;…; 65+5*29.
Сума її членів дорівнює (65+65+29*5)*30:2=4125м.

Годування курей
Для 31 курки приготували корм з розрахунку по декалітру в тиждень на одну курку. При цьому припускалося, що число курей змінюватися не буде. Але, так як в дійсності число курей кожного тижня зменшувалося на одну, то кормів вистачило на подвійний термін.
Наскільки багато було заготовлено корму і на який час він був спочатку розрахований?

Нехай заготовлено х декалітрів корма на у тижнів.
Так як корм розрахований на 31 курицю по 1 д/л на курицю в тиждень, то х=31у.
1 тиждень використано 31 д/л
2 тиждень 30 д/л
3 тиждень 29 д/л
Останній тиждень 31-2у+1 д/л
Весь запас х=31у=31-30+29+…+(31-2у+1), а1=31,
=31-2у+1
Так як у=0, то 31=63-2у,
у=16, то х=496.
Відповідь. 16 тижнів, 496 декалітрів.
Розв'язання

Яблука
Садівник продав першому покупцю половину всіх своїх яблук і ще пів яблука, третьому – половину тих яблук, що залишилося і ще пів яблука і т.д. Сьомому покупцю він продав половину яблук, що залишилися і ще пів яблука, після цього яблук у нього не залишилося. Скільки яблук було у садівника?

Нехай спочатку було х яблук, тоді перший покупець отримав
другий
третій
сьомий
Маємо рівняння
або
Сума геометричної прогресії
дорівнює
Тоді
Розв'язання
Відповідь. 127 яблук

Задача з “ Теоретичного і практичного курсу чистої математики'' Ю. Войтяховського
Воякові дано винагороду: за першу рану – 1 копійка, за другу – 2 копійки, за третю – 4 копійки і т.д. Після обрахунку виявилося, що вояк отримав винагороду в сумі 655 рублів 35 копійок. Питання: чому дорівнює кількість його ран?

Розв'язання
Нехай число ран n, тоді 1+2+4+8+…
=65535
1,2,4,8… - геометрична прогресія,
тоді q=2.
Відповідь: вояка мав 16 ран.

У газеті, що була видана у 1914 р., описувалася справа, яка відбулося у місті Новочеркаську, про продаж отари, що має 20 овець, за такими умовами: за першу вівцю слід заплатити 1к., за другу – 2к., за третю – 4к. і т.д. У яку суму обійдеться вся отара?

Вартість овець, про які йдеться в задачі, є сумою 20 членів геометричної прогресії, перший член якої b1=1, а знаменник q=2. Тоді
1048575 к. = 10485 крб. 75 к
Відповідь. 10485 крб. 75 к.

Задача Феофана Прокоповича
Якась людина має багато коней, і всім їм різна ціна. Найгірший кінь коштує 4 золотих, а найкращий 55 золотих, і ціна від одного до другого коня весь час піднімається на 3 золотих. Питаємо скільки ж усього було коней?

Розв'язання
d=3;
n-?
55=4+3(n-1)
n=18
Відповідь. було 18 коней.

Значна кількість задач на прогресії міститься в чудовій пам'ятці математичної літератури початку XVIII століття ,,Арифметиці'' Л. П. Магніцького.

Задача із “Арифметики” Магніцького
“ Купець мав 14 срібних чарок, причому вага чарок зростає за арифметичною прогресією з різницею 4. Остяння чарка важить 59 лотів. Визначити скільки важать усі чарки ”.
(лот – стародавня російська міра, яка дорівнює 12,8г)

Розв'язання
Відповідь. усі чарки важать 462 лота.
d=4,

Задача із “Арифметики ” Магніцького
,, Якийсь чоловік продав коня купцеві за 156 карбованців; передумавши, купець захотів віддати його назад продавцеві; кажучи при цьому, що кінь не вартий такої високої ціни. Продавець запропонував іншу куплю: ,, Якщо тобі здається ціна за коня занадто високою, то купи тільки цвяхи в підковах коня, а коня візьмеш даром. За перший цвях даси мені пів – шага, за другий - шаг, за третій - копійку, і так усі цвяхи купиш''. У кожній підкові було 6 цвяхів. Зачувши таку малу ціну і бажаючи одержати в подарунок коня, купець погодився, думаючи при цьому не більше десяти карбованців за цвяхи заплатити.
На скільки купець проторгувався?”
(шаг – стародавня російська монета, яка дорівнює 0,5 копійки)

Розв'язання
Складемо послідовність чисел
Дана послідовність є геометричною з q=2,
n=24
(4 підкови по 6 цвяхів)
Отже, покупець проторгувався на 42000-156=41844 (крб)