Презентація на тему «Методи побудови перерізів многогранників»

Якщо жодна з двох точок не належить площині, а відрізок, що їх сполучає, має з цією площиною спільну точку, то кажуть, що дані точки лежать по різні боки від площини. А якщо принаймні дві точки многогранника лежать по різні боки від площини, кажуть, що площина перетинає многогранник. У цьому разі її називають січною площиною. Фігура, яка складається з усіх точок, спільних для многогранника і січної площини, називається перерізом многогранника даною площиною.
Що таке переріз многогранника?

Методи побудови перерізів многогранників.
Метод слідів
Метод внутрішнього проектування
Комбінований метод

Метод слідів
Якщо площина α перетинає площину β по прямій т, то пряму т називають слідом площини α на площину β.
α
β
т

Метод слідів
Метод слідів включає три важливих пункти:
Будується лінія перетину (слід) січної площини з площиною основи многогранника.
знаходимо точки перетину січної площини з ребром многогранника.
Будуємо і заштриховуємо переріз.
М
C
B
А
К
Р
Довідка

Задачі на побудову
1. Побудувати переріз паралелепіпеда площиною, що проходить через точки А, В, С.
А
С
В

2. Побудуйте переріз піраміди АВСD площиною, що проходить через внутрішні точки M, N, P ребер AD, AB, DC відповідно, при умові, що MN не паралельна DP.
A
P
C
N
M
D
B
Побудова

A
P
C
N
M
D
B
О
К
6) Чотирикутник MNKP – шуканий переріз

3. Побудувати переріз куба АВСDА1В1С1D1 площиною, що проходить через внутрішні точки M, N, K ребер BB1, CC1, A1D1 відповідно
А
C
B
D
А1
D1
C1
B1
K
N
M
Побудова

А
C
B
D
А1
D1
C1
B1
K
N
M
Е

А
C
B
D
А1
D1
C1
B1
K
N
M
Е
F

А
C
B
D
А1
D1
C1
B1
K
N
M
Е
F
G
H

А
C
B
D
А1
D1
C1
B1
K
N
M
Е
F
G
H
Многокутник KFNMH – шуканий переріз.

M
N
K
Розглянемо більш складні приклади.

M
N
K
Пам'ятаємо про те, що вершина піраміди – спільна точка для всіх бічних граней
Розглянемо більш складні приклади.

K
M
N
Розглянемо більш складні приклади.

M
Метод внутрішнього проектування
X
Y
A
A1
N
M1
N1
T
D1=T1
B
C
D
E
E1
C1
B1
Це метод використовується при побудові перерізів в тих випадках, коли незручно знаходити слід січної площини, наприклад, слід знаходиться дуже далеко від заданої фігури

Побудова перерізу п'ятикутної призми площиною, що проходить через точки M, N, K, які належать відповідно граням АА1В1, ЕDD1, CDD1.
A
C
B
M
D
E
A1
C1
B1
D1
E1
K
N
M1
N1
K1
A2

Комбінований метод.
При побудові перерізу цим методом на яких етапах побудови використовуються прийоми методу слідів або метода внутрішнього проектування, а на інших етапах використовуються теореми вивченні ще раніше.

Побудувати переріз паралелепіпеда площиною, що проходить через точку S паралельно площині PQR. P належить А1В1, Q належить(DCC1), R належить (АDD1)
Q
P
R
B
А
D
C
B1
А1
C1
D1
S
Побудова

B
А
D
C
B1
А1
C1
D1
1. Через три точки P, Q, R проводимо площину α. Побудуємо цю площину використовуючи метод слідів.
Q
P
R
S
2. Використовуючи властивості і ознаки паралельності площин будуємо шуканий переріз.
V
T
U
3. Чотирикутник SUTV – шуканий переріз.

Довідковий матеріал.
Аксіома 1. Через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій можна провести площину і до того ж тільки одну;
Аксіома 2. Якщо дві точки прямої належать площині, то всі точки даної прямої належать площині;
Аксіома 3. Якщо дві площини мають спільну точку, то вони мають спільну пряму на якій лежать спільні точки цих площин;
Наслідки з аксіом:
Через пряму і точку, що не належить даній прямій можна провести площину і до того ж тільки одну;
Через дві прямі, що перетинаються можна провести площину і до того ж тільки одну.
Теорема (ознака паралельності двох площин). Якщо дві прямі, що перетинаються однієї площини відповідно паралельні двом прямим, що перетинаються іншої площини, то ці площини паралельні;
Теорема (властивість паралельних площин). Якщо дві паралельні площини перетнуто третьою, то лінії їх перетину паралельні;
Теорема (ознака паралельності прямої і площини). Якщо пряма, що не належить даній площині, паралельна будь-які прямій цієї площини, то вона паралельна і даній площині.

Література.
Е.К.Лейнартас “Математика. Перерізи многогранників”, Красноярск, 2006
Г. П. Бевз, В. Г. Бевз, Н. Г. Владімірова, В. М. Владіміров “Геометрія. Профільний рівень”, Київ 2010
http://www.freeware.ru/program_prog_id_1536.html (програма, для побудови перерізів основних просторових фігур)
http://mail.spb.fio.ru/archive/group14/c4wu5/tityl.html