Презентація на тему «Параллельное проектирование»

Параллельное проектирование
Презентацию
выполнил
ученик 10 А класса
Тесло Максим

В стереометрии изучаются пространственные фигуры, однако на чертеже они изображаются в виде плоских фигур. Каким же образом следует изображать пространственную фигуру на плоскости? Обычно для этого используется параллельное проектирование пространственной фигуры на плоскость.

Точка А` является параллельной проекцией точки А на плоскость π в направлении прямой ℓ. Если точка А принадлежит прямой ℓ, то параллельной проекцией А на плоскость π считается точка пересечения прямой ℓ с плоскостью π. Такое соответствие называется параллельным проектированием. (рис. 1)
Рис.1

Пусть Ф – некоторая фигура в пространстве. Проекции её точек на плоскость π образует фигуру Ф`, которая называется параллельной проекцией фигуры Ф на плоскость π в направлении прямой ℓ. (рис. 2)
Ф
Ф`
ℓ
π
Рис. 2

Свойство №1. Если прямая параллельна или совпадает с прямой ℓ, то её проекцией в направлении этой прямой является точка. Если прямая не параллельна и не совпадает с прямой ℓ, то её проекцией является прямая. (рис. 3)
Рис. 3

Свойство №2. Проекция отрезка при параллельном проектировании есть точка или отрезок в зависимости от того, лежит он на прямой, параллельной или совпадающей с прямой ℓ, или нет. Отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой, сохраняется. В частности, середина отрезка при параллельном проектировании переходит в середину соответствующего отрезка. (рис. 4)
Рис. 4

Свойство №3. Если две параллельные прямые не параллельны прямой ℓ, то их проекции в направлении ℓ могут быть или параллельными прямыми, или одной прямой. (рис. 5)
Рис. 5

Пример №1. Как должны быть расположены две прямые, чтобы они проектировались на плоскость в прямую и точку, не принадлежащую этой прямой? t Решение. Рассмотрим все возможные случаи. Если прямые пересекаются и ни одна из них не параллельна направлению проектирования, то они проектируются в пересекающиеся прямые (рис. 6); если же одна из них параллельна направлению проектирования, то плоскость, которая определяется этими прямыми, проектируется в одну прямую (в этом случае плоскость параллельна направлению проектирования). (рис. 7)
b
π
ℓ
а
а'
b'
Рис. 6
а
b
π
ℓ
а'
Рис. 7

Если прямые параллельны, то они проектируются или в две параллельные прямые (их плоскость не параллельна направлению проектирования) (рис. 8), или в одну прямую (их плоскость параллельна направлению проектирования, но сами они не параллельны направлению проектирования) (рис. 9), или в две точки (прямые параллельны направлению проектирования). (рис. 10)
а
ℓ
b
a'
b'
π
Рис. 8
а
ℓ
b
π
а(b)
Рис. 9
а
ℓ
b
π
Рис. 10
.
.
А
В

Если прямые скрещиваются и одна из них параллельна направлению проектирования, то они проектируются соответственно в прямую и не принадлежащую ей точку. (рис.11)
π
ℓ
b
а
а'
.
b'
Рис. 11

Пример № 2. Отрезок АВ, равный а, параллелен плоскости проектирования. Найди длину его параллельной проекции.tРешение. Пусть параллельными проекциями точек А, В будут соответствовать точки А', В'. Тогда четырехугольник АВВ'А' будет параллелограммом (АА' параллельна ВВ', АВ параллельна А'В'). Следовательно, АВ=А'В'= а.Таким образом, длина параллельной проекции отрезка, лежащего в плоскости, параллельной плоскости проектирования, равна длине отрезка. (рис. 12)
.
.
ℓ
π
.
.
Рис. 12
А
А'
В
В'

Спасибо за внимание