Презентація на тему «Відстань між мимобіжними прямими»

Відстань між мимобіжними прямими
 

Означення: спільним перпендикуляром до двох мимобіжних прямих називається відрізок з кінцями на даних прямих, перпендикулярний до кожної з них.
a
b
A
B
ABa, ABb

Мимобіжні прямі мають єдиний спільний перпендикуляр. Він є спільним перпендикуляром до паралельних площин, які проходять через ці прямі.
a
b
A
B


ǁ, AB , AB

Означення: відстанню між мимобіжними прямими називається довжина їх спільного перпендикуляра.
Вона дорівнює відстані між паралельними площинами, які проходять через ці прямі.
a
b
A
B


ǁ, AB , AB , (a,b)=(,)=AB

Основні способи знаходження відстані між двома мимобіжними прямими
1)Будують спільний перпендикуляр до даних мимобіжних прямих і обчислюють його довжину;
2) Проводять через дані мимобіжні прямі паралельні площини і обчислюють відстань між ними;
3) Проводять через одну з мимобіжних прямих площину, паралельну другій прямій і обчислюють відстань до цієї площини від паралельної до неї прямої;
4) Проводять площину, перпендикулярну до однієї з даних прямих і ортогонально проектують на неї обидві прямі. Шукана відстань дорівнює відстані між проекціями цих прямих.

Спосіб 1. Знаходження спільного перпендикуляра
В ході розв'язання відшукують або будують спільний перпендикуляр до даних мимобіжних прямих і обчислюють його довжину
Задача 1. Ребро куба дорівнює а. Знайти відстань між прямими ВC і DD1
A
A1
B
C
D
B1
C1
D1
CDBC, CDDD1 як суміжні сторони
квадратів – граней куба
CD – спільний перпендикуляр
для прямих BC та DD1
(BC, DD1)=DC=a

Спосіб 1. Знаходження спільного перпендикуляра
Задача 2. Ребро куба дорівнює а. Знайти відстань між прямими AA1 і CB1
A
A1
B
C
D
B1
C1
D1
AA1A1B1 , BCBB1 , BB1A1B1
як суміжні сторони квадратів –
граней куба
За теоремою про три перпендикуляри
CB1A1B1
A1B1 – спільний перпендикуляр
для прямих B1C та AA1
(B1C, AA1)= A1B1 = a

a
b
A
B


a, b, ǁ, AB , AB, (a,b)=(,)=AB
Спосіб 2. Побудова паралельних площин
В ході розв'язання проводять через дані мимобіжні прямі паралельні площини  і ; тоді шукана відстань дорівнює відстані між цими площинами.

Спосіб 2. Побудова паралельних площин
Задача 3. Ребро куба дорівнює а. Знайти відстань між діагоналями несуміжних граней - прямими A1 В і DC1
A
A1
B
C
D
B1
C1
D1
Діагоналі A1B та C1D лежать у
паралельних площинах , а саме:
A1B(AA1B), C1D (DD1C),
(AA1B) ǁ (DD1C)
AD – спільний перпендикуляр
для даних граней
P
K
PK- спільний перпендикуляр
заданих мимобіжних прямих
(A1B, DC1)=AD=PK=a

a
b
A
B

b, aǁ, AB , AB a, (a,b)=(a,)=AB
Спосіб 3. Побудова однієї паралельної площини
В ході розв'язання проводять через одну з даних мимобіжних прямих b площину , паралельну другій прямій a; тоді шукана відстань дорівнює відстані між прямою a і паралельною їх площиною 
a1

Спосіб 3. Побудова однієї паралельної площини
Задача 4. Ребро куба дорівнює а. Знайти відстань між діагоналлю основи та несуміжним до неї бічним ребром - прямими A1С1 і DD1
A
A1
B
C
D
B1
C1
D1
Проведемо через діагональ A1C1
верхньої грані куба площину,
паралельну до бічного ребра DD1-
площину AA1C.
AA1(AA1C), AA1ǁ DD1, тому
DD1 ǁ (AA1C)
Так як діагоналі квадрата взаємно
перпендикулярні (A1C1  B1D1)
а також взаємно перпендикулярні
основи та побудована діагональна
площина, то КD1 – шуканий
перпендикуляр і шукана відстань,
де К – точка перетину діагоналей
основи
(A1С1, DD1)=KD1=
K

a
b
A
B

Спосіб 4. Побудова перпендикулярної площини
Проводять площину , перпендикулярну до однієї з даних прямих a; і ортогонально проектують обидві дані прямі на цю площину; тоді проекцією прямої a є точка А перетину цієї прямої з площиною  , проекцією прямої b – деяка пряма b1 площини , а шукана відстань дорівнює відстані від точки А до прямої b1
b1
m
a , b  b1,
b1 , a=A,
b, m,
ǁa, mǁa
AB b1,
(a,b)=(A,b1)=AB


Спосіб 4. Побудова перпендикулярної площини
Задача 5. Ребро куба дорівнює а. Знайти відстань між мимобіжними діагоналями суміжних граней куба - прямими AС і DС1
A
A1
B
C
D
B1
C1
D1
Опустимо перпендикуляр ОК з
точки О на пряму О1D
ОК – шукана відстань
Так як OKO1D=OO1 OD, маємо:
О1
О
К
Використаємо перпендикулярність діагоналей квадратів основ куба
Проведемо через діагональ BD площину, перпендикулярну до діагоналі АС, - площину BB1D. Ортогональними проекціями на неї прямих AС та DC1 будуть точка О(перетин АС і BD) та пряма DO1

Спосіб 4. Побудова перпендикулярної площини
Задача 6. Рівні прямокутники ABCD і ABC1D1 лежать у перпендикулярних площинах. Знайдіть відстань між мимобіжними прямими AD1 і С1D , якщо АВ=15 см, ВС=20 см
C1
А
B
C
D
D1
H
Оскільки D1A і C1В – перпендикуляри до
прямої перетину двох перпендикулярних площин, то D1A (АВС), С1В (АВС).
Побудуємо ортогональні проекції прямих AD1 і С1D на площину АВС. Проекціями є відповідно точка А та пряма BD. Шукана відстань дорівнює висоті АН прямокутного трикутника ABD (A=900)

Спосіб 4. Побудова перпендикулярної площини
Задача 6. Рівні прямокутники ABCD і ABC1D1 лежать у перпендикулярних площинах. Знайдіть відстань між мимобіжними прямими AD1 і С1D , якщо АВ=15 см, ВС=20 см
C1
А
B
C
D
D1
H
Оскільки за теоремою Піфагора ВD=25 см, то
Відповідь: 12 см