Презентація на тему «Діофантові рівняння»

ДІОФАНТОВІ РІВНЯННЯ
Виконала:
учениця 6-А класу
Лапко Анастасія

Вивчаючи на уроках алгебри тему «Лінійні рівняння», ми зустріли декілька задач, для розв′язку  яких  необхідно скласти лінійне рівняння з двома змінними, розв′язування яких викликали труднощі. Тут ми і познайомилися з Діофантовими рівняннями. А перед тим, перенесемося в історичну епоху, в якій жив Діофант.
Олександрія - центр античної математики. У ній велися оригінальні дослідження, хоча переказ і коментування стали основним видом наукової діяльності. Олександрійські вчені приводили науку в порядок, збираючи розрізнені результати в єдине ціле, і багато праць античних математиків і астрономів дійшли до нас тільки завдяки їхній діяльності. Грецька наука з її незграбним геометричним способом вираження при систематичному відмовленні від алгебраїчних позначень згасала, алгебру й обчислення (прикладну математику) олександрійці взяли зі сходу, з Вавилону та Єгипту.

Історичні відомості
Діофант представляє одну із найцікавіших особистостей в історії математики. До нас дійшло 7 книг із 13, які були об'єднані в «Арифметику». Стиль і зміст цих книг дуже відрізняється від класичних книг з теорії чисел та алгебри, зразки яких ми знаємо з «Начал» Евкліда, лем Архімеда і Аполлонія. «Арифметика», безсумнівно, є результатом багаточисленних досліджень, велика кількість з яких залишилась нам невідомою.
«Арифметика» Діофанта – це збірник задач (їх всього 189), кожна з яких має розв'язок і необхідні пояснення. В збірник входять різноманітні задачі, і їх розв'язки дуже часто не так просто зрозуміти.

Рівняння Діофонта
Рівняння  виду   ах +bу = с  називається лінійне діофантове рівняння з двома невідомими, якщо  а, b, с  - цілі числа, а  ≠ 0, b ≠ 0 , с ≠  0.
Приклади лінійних діофантових  рівнянь з двома невідомими:
1)  2х +3у = -5, коефіцієнти рівняння а =2, b =3, с = -5.
2) - х - 3у = 10, коефіцієнти рівняння  а =-1, b = -3, с =10.
3) 32х +17у = 3, коефіцієнти рівняння а =32, b =17, с =3.
4) 32/х +17у = 30,5 - це недіофантове рівняння(бо коефіцієнти а та b  являються нецілими числами), проте це лінійне рівняння відносно двох невідомих  х та  у.

Діофантові рівняння першого степення
Рівняння виду ах +bу = с де а,b,с - числа, а х,у- змінні, називають діофантовим рівнянням першого степеня з двома змінними. Для розв'язання рівняння застосовують наступні теореми.
Теорема 1. Якщо а і b - взаємно прості числа, то для будь якого цілого с, рівняння ах + bу = с має хоча б один розв'язок в цілих числах.
Теорема2. Якщо а і b взаємно прості числа, то рівняння ах + bу = с має нескінченну кількість розв'язків, які знаходять за формулами х = хо+bk; у = уо-ak, де (хо;уо) - будь який цілий розв'язок даного рівняння, k є Z.
Частинний розв'язок (хо;уо) можна знайти підбором, для малих а і b, а у випадку коли числа а і b великі, то користуємось наступною теоремою.
Теорема 3. НСД(а,b) = d може бути записаний у вигляді
d = ат + bn, де т,n - цілі числа,d знаходимо за алгоритмом Евкліда.

Розв'яжемо рівняння в цілих числах 13x+12y=55
Розв'язання:
Так як НСД(13,21)=1, то дане рівняння має безліч розв'язків. Підбором встановлюємо частинний розв'язок (хо;уо) = (1;2).
Тоді загальний розв'язок має вигляд
x=1+21k; y=2-13k; k є Z.
Відповідь: x=1+21k; y=2-13k; k є Z.

Cпосіб знаходження «часткового»  розв'язку діофантового рівняння
Для розв'язування лінійного діофантового рівняння з двома невідомими ах + bу = с треба помножити все рівняння на спільний знаменник,  а  потім:
1) перевірити умову розв'язності даного рівняння в цілих числах. Для цього  спочатку ділять обидві частини рівняння на число m = НСД(а, b,с) , а потім перевіряють умову: НСД(a/m;  b/m ) = НСД(p;s) = 1, де  a/m = p; b/m = s;
якщо ця умова не виконується, тоді роблять висновок, що дане рівняння не має розв'язку в цілих числах.
2) якщо рівняння має розв'язок в цілих числах, тоді треба відшукати хоча б одну пару (хо,уо) цілих чисел, яка є розв'язком даного рівняння ах + bу = с;
(це можна зробити:  методом підбору,  методом Евкліда, графічним способом та іншими способами.)
3) записати всю множину розв'язків лінійного діофантового рівняння з двома невідомими, як множину цілочисельних пар у вигляді (хо - ak,  уо+ bk),  де k - довільне ціле число.

Задача: Чи можна зважити 28 г деякої речовини на терезах, якщо маємо тільки чотири гирі по 3 г і сім гир по 5 г?Розв'язання: Нехай х — кількість гир по 3 г, y - кількість гир по 5 г ( 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤7). За умовою задачі 3x +5y = 28.Звідси x, y є цілими числами. Тоді y = 3t −1, x =11−5t.Враховуючи, що 0 ≤ x ≤ 4 і 0 ≤ y ≤7, маємо: 0 ≤ 3t −1≤7 і 0 ≤11−5t ≤ 4. Обидві нерівності мають тільки один цілий розв'язок: t = 2. Отже, y = 5, x = 1.Відповідь: Треба взяти одну гирю масою 3 г і п'ять гир масою по 5 г.
Розв'язати рівняння  в цілих числах  3x -12y = 7.
Розв'язання:Це рівняння не має цілих розв'язків. Ліва частина ділиться на 3,  бо НСД(3;12) = 3, тоді як права частина не ділиться на 3.  Звертаємо вашу увагу, що не виконується умова розв'язності: 7 не ділиться на ціло на 3.
Відповідь:  розв'язку в цілих числах рівняння не має.

У даній наукові роботі розглядались діофантові рівняння. Таких рівнянь є надзвичайно багато, тому основною метою роботи було розглянути деякі з таких рівнянь та показати різні методи їх розв'язання.
При написанні наукової роботи я дізналась про різні методи знаходження розв'язків невизначених рівнянь. Розглянула цікаві діофантові рівняння для яких існують розв'язки в цілих числах, навчилась знаходити ці розв'язки, або показувати, що їх не існує.
Вміння розв'язувати діофантові рівняння дає змогу набагато простіше і швидше доводити існування чи не існування розв'язку деяких задач, а також при наявності розв'язків визначати їх кількість.
«Щоб засвоїти знання, требе смакувати їх з апетитом». Ці слова французького письменника XIX ст. Анатоля Франса, стали для мене творчим кредом при праці над цією роботою. Адже тільки праця з бажанням, дає позитивні результати.

ДЯКУЮ ЗА УВАГУ