Презентація на тему «Линейная и квадратичная функции в приблизительных вычислениях»

Министерство образования и науки, молодежи и спорта УкраиныЗапорожское территориальное отделениеМалой академии наук
профиль - физико-математический
секция – математика
Линейная и квадратичная функции в приблизительных вычислениях
Научно-исследовательская работаученика 10-А классакоммунального заведенияДнепрорудненская гимназия «София»Шевченко Павла Юрьевичанаучный руководитель - учитель математикиПатрушева Маргарита Полиевктовна

Вступление
Почему не бывает животных, какой угодно величины? Почему, например, нет слонов в три раза большего роста, чем существуют, но тех же пропорций? Наш ответ таков: стань слон в три раза больше, вес его тогда увеличился бы в двадцать семь раз, как куб размера, а площадь сечения костей и, следовательно, их прочность — только в девять раз, как квадрат размера. Прочности костей уже не хватило бы, чтобы выдержать непомерно увеличившийся вес. Такой слон был бы раздавлен собственной тяжестью.
Цель работы - рассмотреть примеры применения линейной регрессии и интерполяции при решении исследовательских задач, в прогнозировании реальных процессов.

Пример использования
линейной регрессии
Некая фирма решила использовать модель линейной регрессии для определения зависимости вида y = a + bx между годовым объемом продаж и годовыми расходами на рекламу. За предыдущие годы были собраны следующие данные:
Расходы на рекламу (тыс. $) (xi)
Объем продаж
(млн. $) (yi)
 
71
28
 
 
31
14
 
 
50
19
 
 
60
21
 
 
35
16
 

Решение
Найдем линейную теоретическую функцию регрессии y = a + bx и параметры линейной регрессии (коэффициенты регрессии) a и b, используя метод наименьших квадратов. Для этого надо решить следующую систему уравнений:
В этом случае n = 5 - число наблюдений и:
Подставив эти значения в вышеуказанные уравнения:
Решив эту систему относительно a и b, получим a = 4,2 и b = 0,31. Таким образом, ожидаемые продажи составит 4,2 плюс 0,31 умножить на рекламный бюджет миллионов долларов.
y = 4,2 + 0,31x – искомая функция линейной регрессии.

На графике наблюдения и функция регрессии выглядят следующим образом:
реклама
продажа

Применение регрессии
в прогнозировании
Задача 1

 
Укр. язык
Укр. Лит
Англ. Яз.
Франц/ Немец
Рус. Яз.
Литер.
Истор. Укр.
Всем. Истор.
Право
Алгебр
Геометр.
Биолог
географ.
физика
химия
худ. Культ.
труды
информ.
черчен.
О.Б.Ж.
Анпилов
9
10
9
9
10
11
10
10
10
8
8
12
8
8
8
8
9
9
8
9
Бабич
5
4
4
4
5
5
6
5
8
4
4
4
5
6
5
5
8
7
4
6
Бирюкова
8
5
5
10
8
8
8
8
8
4
4
5
6
5
4
8
10
9
8
10
Бородина
9
9
8
10
10
11
10
10
10
10
10
9
9
8
9
12
11
8
12
10
Воропай
5
6
4
7
6
7
7
8
6
4
4
6
6
6
3
7
10
7
5
10
Гаврилов
7
8
4
8
7
8
8
8
6
7
6
6
7
6
5
7
7
9
6
10
Герда
4
3
5
5
6
4
4
4
5
4
3
4
4
3
3
5
8
9
4
8
Иваников
7
8
7
6
9
7
9
8
7
8
7
8
9
8
7
8
9
10
7
9
Клименко
5
3
4
5
5
6
5
4
3
4
4
4
4
3
2
5
8
6
4
5
Команчи
4
3
4
3
5
4
5
6
3
3
3
4
3
3
2
3
8
8
1
3
Кононенко
7
4
5
6
7
8
7
7
7
4
4
5
6
5
4
6
10
9
4
7
Коржова
7
7
8
7
8
9
9
9
8
9
8
7
10
7
8
9
11
10
7
10
Короткова
9
9
8
8
10
9
9
10
8
8
8
8
8
7
9
8
9
11
8
9
Кретинин
5
2
3
4
4
4
5
5
5
3
3
4
4
3
2
4
7
5
5
9
Кулиш
6
4
4
4
6
5
6
7
6
4
5
5
5
4
4
5
9
8
5
6
Куприн
7
9
7
8
8
9
8
8
7
10
10
8
7
10
8
7
8
10
8
10
Лашина
8
6
6
7
8
8
8
8
7
4
4
6
6
6
6
7
9
7
6
9
Мартиросян
9
9
9
7
10
10
8
9
7
10
10
9
7
9
10
9
9
10
7
9
Мишин
9
7
8
8
9
9
9
9
9
9
8
7
8
7
6
8
9
9
4
10
Овчаренко
7
6
8
6
7
6
8
8
7
8
9
7
7
9
8
7
9
10
7
9
Приймак
7
7
9
7
8
8
8
9
10
7
6
6
8
6
5
8
9
10
6
9
Ревуцкий
8
7
5
7
9
8
7
7
7
4
4
6
8
5
4
7
9
9
5
9
Савина
6
3
3
5
7
6
7
9
5
5
4
4
4
5
6
6
10
8
5
9
Семенько
11
11
10
10
11
11
10
10
10
10
10
10
10
9
10
10
10
11
10
11
Сенюк
8
8
6
6
7
9
8
8
9
6
4
6
7
5
6
9
10
8
7
9
Тарасенко
5
3
4
5
6
4
6
6
3
4
4
4
3
4
3
4
8
8
4
4
Хлопов
4
4
5
4
6
4
5
4
4
3
3
4
4
3
2
4
8
7
6
4
Шевченко А.
7
3
3
8
7
8
7
6
5
4
4
5
6
5
4
7
9
9
3
8
Шевченко П.
11
12
10
12
10
11
10
10
10
12
12
10
10
10
11
10
11
11
10
11
Якуба
4
2
4
3
6
4
5
6
5
4
4
6
4
2
3
3
8
8
5
5

№
Учебный предмет
Уравнение регрессии
R2
1.
Украинский язык
-0,056427Х+0,460754
0,017192
2.
Украинская литература
0,410689Х-3,674509
0,361694
3.
Иностранный язык
0,018284Х-1,070215
0,000985
4.
Иностранный язык (2)
-0,011133Х-0,165561
0,000314
5.
Русский язык
-0,131005Х+1,564919
0,099026
6.
Литература
0,138371Х-0,416191
0,071131
7.
История Украины
0,132193Х-0,371958
0,073561
8.
Всемирная История
-0,137436Х+1,643689
0,078221
9.
Правоведение
-0,049057Х+0,305199
0,006299
10.
Алгебра
0,301833Х-2,851595
0,197649
11.
Геометрия
0,265489Х-2,849642
0,135763
12.
Биология
0,003642Х-0,618085
0,000049
13.
География
0,015582Х-0,55993
0,001238
14.
Физика
0,061598Х-1,43993
0,012897
15.
Химия
0,3185131Х-3,572711
0,247366
16.
Художественная культура
0,0470855Х-0,3196468
0,010362
17.
Трудовое обучение
-0,665022Х+6,738602
0,700871
18.
Информатика
-0,463331Х+5,034262
0,435323
19.
Черчение
-0,028611Х-0,676069
0,001623
20.
О.Б.Ж.
-0,12703Х+2,306156
0,028974
Последовательно проведенные вычисления и построены регрессионные зависимости для всех предметов. Результаты данного численного эксперимента приведены в сводной таблице:

Пример по алгебре
№
хі
уі
хі2
хіуі
уі р
(уі р – у)2
(уі – у)2
1
9,2
-1,2
84,83
-11,15
-0,072
0,487819
0,19
2
5,3
-1,3
27,70
-6,65
-1,263
0,243051
0,24
3
7,2
-3,2
51,99
-23,15
-0,675
0,008983
5,96
4
9,7
0,3
94,81
2,56
0,087
0,734962
1,07
5
6,3
-2,3
39,89
-14,63
-0,945
0,030724
2,39
6
7,0
0,0
49,00
0,00
-0,739
0,000976
0,59
7
4,8
-0,8
22,94
-3,78
-1,406
0,404464
0,00
8
7,9
0,1
62,33
0,83
-0,469
0,090778
0,77
9
4,5
-0,5
20,01
-2,12
-1,501
0,534785
0,09
10
3,9
-0,9
15,58
-3,74
-1,660
0,792365
0,03
11
6,2
-2,2
38,57
-13,73
-0,977
0,042872
2,08
12
8,4
0,6
70,03
5,29
-0,326
0,197373
1,96
13
8,7
-0,7
75,42
-5,94
-0,230
0,291148
0,01
14
4,4
-1,4
19,08
-5,98
-1,533
0,582263
0,36
15
5,5
-1,5
29,96
-8,07
-1,199
0,184434
0,50
16
8,3
1,7
68,28
14,35
-0,358
0,170152
6,28
17
6,9
-2,9
48,27
-20,48
-0,755
0,000236
4,74
18
8,8
1,2
77,25
10,64
-0,199
0,326445
3,92
19
8,1
0,9
64,84
7,63
-0,421
0,121767
2,95
20
7,6
0,4
58,24
2,81
-0,548
0,049224
1,30
21
7,7
-0,7
59,05
-5,26
-0,532
0,056525
0,01
22
6,9
-2,9
47,54
-19,96
-0,771
4,51
23
5,9
-0,9
34,75
-5,27
-1,072
0,091428
0,02
24
10,3
-0,3
105,33
-2,70
0,246
1,032578
0,26
25
7,4
-1,4
54,29
-10,08
-0,628
0,020288
0,36
26
4,6
-0,6
21,45
-2,93
-1,454
0,467353
0,02
27
4,5
-1,5
20,01
-6,59
-1,501
0,534785
0,50
28
6,0
-2,0
36,00
-12,00
-1,041
0,073224
1,51
29
10,6
1,4
113,03
14,55
0,357
1,27094
4,57
30
4,6
-0,6
20,97
-2,65
-1,470
0,489326
0,04
207,1
-23,1
1531,5
-128,19
____
9,33
47,21

Рассчитаем коэффициенты линейной регрессии по приведенным формулам:
Таким образом, искомая регрессионная зависимость имеет вид:
Найдем коэффициент детерминации по формуле:
i
i
n
n

Проведем регрессионный анализ в режиме Регрессия MS Excel. Работа с программой представлена ​​на следующих рисунках:

Сгенерируем нужны результаты по регрессионной статистике и представим их в таблице:
Регресійна статистика
R-квадрат
0,1976
Спостереження
30
Коэффициенты
Y-пересечение
-2,851595
Переменная X
0,301833
Исходя из расчетов, можем записать уравнение регрессии следующим образом:
;
.

Далее, построим график регрессии, и нанесем диаграмму рассеяния для интерпретации выставленных оценок учителем, относительно среднего балла учеников.

№
хі
уі
хі2
хіуі
уі р
(уі р – у)2
(уі – у)2
1
9,2
-0,2
83,87
-1,45
12,829
2,5651
5,80
2
5,1
2,9
25,53
14,89
10,099
1,2735
0,49
3
6,9
3,1
47,54
21,41
11,324
0,0093
0,73
4
9,7
1,3
93,78
12,74
13,179
3,8088
0,87
5
6,0
4,0
36,00
24,00
10,729
0,2485
3,06
6
7,0
0,0
49,00
0,00
11,394
0,0277
5,06
7
4,6
3,4
20,97
15,66
9,784
2,0837
1,37
8
7,8
1,2
61,50
9,08
11,954
0,5279
1,19
9
4,3
3,7
18,17
15,93
9,574
2,7341
2,21
10
3,7
4,3
13,57
15,90
9,189
4,1556
4,27
11
5,9
4,1
34,75
24,20
10,659
0,3232
3,44
12
8,3
2,7
68,28
22,61
12,234
1,0132
0,24
13
8,6
0,4
74,50
3,18
12,479
1,5665
3,54
14
4,2
2,8
17,29
11,82
9,504
2,9705
0,35
15
5,2
3,8
27,15
19,75
10,204
1,0475
2,37
16
8,4
-0,4
70,03
-3,08
12,304
1,1590
6,86
17
6,7
2,3
44,68
15,48
11,184
0,0019
0,00
18
8,8
0,2
78,18
1,40
12,619
1,9365
4,38
19
8,1
0,9
64,84
7,63
12,094
0,7510
1,70
20
7,6
1,4
57,44
10,77
11,779
0,3042
0,69
21
7,6
1,4
57,44
10,77
11,779
0,3042
0,69
22
6,6
2,4
43,98
15,71
11,149
0,0062
0,01
23
5,6
4,4
31,71
24,60
10,484
0,5528
4,49
24
10,3
-0,3
105,33
-2,70
13,564
5,4598
6,32
25
7,2
2,8
51,24
20,34
11,499
0,0737
0,35
26
4,4
3,6
19,55
15,82
9,679
2,3979
1,77
27
4,2
3,8
17,73
15,96
9,539
2,8511
2,37
28
5,7
3,3
32,91
18,72
10,554
0,4536
1,03
29
10,7
0,3
114,15
3,37
13,844
6,8468
3,74
30
4,4
3,6
19,08
15,86
9,644
2,5075
1,91
____
Пример по трудовому обучению

Рассчитаем коэффициенты линейной регрессии по приведенным формулам:
Таким образом, искомая регрессионная зависимость имеет вид:
Найдем коэффициент детерминации по формуле:
i
i
n
n

Проведем регрессионный анализ в режиме Регрессия MS Excel для подтверждения расчетных данных.
Регрессионная статистика
R-квадрат
0,700865
Наблюдения
30
Коэффициенты
Y-пересечение
6,738609
Переменная X
-0,665023
Исходя из расчетов, можем записать уравнение регрессии следующим образом:
;
.

№
Назначение
Расстояние(км)
Время(мин.)
1
ДОС «Слон» – с. Орлянское м. «Близнецы»
8,8
9,27
2
ДОС «Слон» – с. Тополиное м. «Тополь»
14,5
16,08
3
ДОС «Слон» – с. Видножино м. «Ирина»
9,1
11,88
4
ДОС «Слон» – г. Днепрорудный к. «Легенда»
1,7
2,51
5
ДОС «Слон» – г. Днепрорудный м. «Шахтер»
2,1
3,82
6
ДОС «Слон» – г. Днепрорудный кафе «Нива»
3,6
6,78
7
ДОС «Слон» – с. Балки м. «Центр»
7,4
11,97
8
ДОС «Слон» – г. Днепрорудный м. «Демпинг»
2,9
5,22
9
ДОС «Слон» – с. Златополь м. «Витязь»
6,4
8,02
10
ДОС «Слон» – с. Скельки м. «Придорожный»
14,2
10,05
Задача 2

№
хі
уі
хі2
хіуі
уі р
(уі р – у)2
(уі – у)2
1
8,8
9,27
77,44
81,576
9,898
1,7901
0,50
2
14,5
16,08
210,25
233,16
14,306
33,0184
56,55
3
9,1
11,88
82,81
108,11
10,130
2,4647
11,02
4
1,7
2,51
2,89
4,267
4,407
17,2476
36,60
5
2,1
3,82
4,41
8,022
4,716
14,7738
22,47
6
3,6
6,78
12,96
24,408
5,876
7,2018
3,17
7
7,4
11,97
54,76
88,578
8,815
0,0651
11,63
8
2,9
5,22
8,41
15,138
5,335
10,4004
11,16
9
6,4
8,02
40,96
51,328
8,042
0,2685
0,29
10
14,2
10,05
201,64
142,71
14,074
30,4059
2,22
70,7
85,6
696,53
757,3
117,6364
155,61

Рассчитаем коэффициенты линейной регрессии по приведенным формулам:
Таким образом, искомая регрессионная зависимость имеет вид:
Найдем коэффициент детерминации по формуле:
i
i
n
n
Регрессионная статистика
R-квадрат
0,755916
Наблюдения
10
Коэффициенты
Y-пересечение
3,092425
Переменная X
0,773349
;
.

Рассчитаем приблизительное время движения до районного центра г. Васильевка (21,7 км) по найденным уравнением регрессии:

Зависимость уровня тревожности человека от количества времени,затрачиваемого им на компьютерные игры.
Задача 3

Главная задача этого раздела подтвердить или опровергнуть следующую гипотезу: уровень тревожности игрока находится в прямой зависимости от количества времени, затрачиваемого им на компьютерные игры.
№
Фамилия, имя, класс, возраст
Кол-во часов (в неделю) (ч.)
Уровень тревожности
1
Анпилов Александр, 10-А, 15 лет
25,53
2,275
2
Гайдаш Катерина, 10-А, 15 лет
16,3
1,525
3
Іваніков Віталій, 10-А, 16 лет
32,3
3,125
4
Клименко Дмитро, 10-А, 14 лет
22,32
2,075
5
Команчи Дмитро, 10-А, 15 лет
29,87
2,75
6
Короткова Лілія, 10-А, 15 лет
21,78
1,675
7
Куприн Кирило, 10-А, 15 лет
33,7
3,025
8
Мартіросян Арам, 10-А, 15 лет
21,62
1,875
9
Хлопов Артем, 10-А, 14 лет
26,85
2,25
10
Якуба Олександр, 10-А, 15 років
37,43
3,05
№
хі
уі
хі2
хіуі
уі р
(уі р – у)2
(уі – у)2
1
25,53
2,275
651,78
58,08
2,255
0,0111
0,01
2
29,87
2,75
892,22
82,14
2,632
0,0741
0,15
3
32,3
3,125
1043,29
100,94
2,844
0,2338
0,59
4
22,32
2,075
498,18
46,31
1,975
0,1479
0,08
5
21,78
1,675
474,37
36,48
1,928
0,1863
0,47
6
16,3
1,525
265,69
24,86
1,452
0,8251
0,70
7
21,62
1,875
467,42
40,54
1,914
0,1985
0,24
8
33,7
3,025
1135,69
101,94
2,965
0,3664
0,44
9
26,85
2,25
720,92
60,41
2,369
0,0001
0,01
10
37,43
3,05
1401,00
114,16
3,290
0,8646
0,48
267,7
23,625
7550,57
665,87
2,91
3,16

Рассчитаем коэффициенты линейной регрессии по приведенным формулам:
Таким образом, искомая регрессионная зависимость имеет вид:
Найдем коэффициент детерминации по формуле:
i
i
n
n
Регрессионная статистика
R-квадрат
0,920855
Наблюдения
10
Коэффициенты
Y-пересечение
0,033684
Переменная X
0,086993
;

Тогда, легко подсчитать, что до первого интервала будут принадлежать следующие значения:
Аналогично, рассчитаем для других интервалов:
Второй :
Третий:
Четвертый:
Пятый:

Нахождение оптимального объема производства сыра
на ЗАО «Днепрорудненский сыродельный комбинат»

Важнейшей составляющей конкурентоспособности продукции является её стоимость. Поэтому чрезвычайно важно определить оптимальный объем производства, обеспечивающий минимум совокупных издержек. Под оптимальным объемом производства продукции понимается такой объем, который обеспечивает выполнение заключенных договоров и обязательств по производству продукции в установленные сроки с минимумом затрат и максимально возможной эффективностью.
Версия о том, что постоянное увеличение производства ведет к снижению себестоимости единицы, справедлива лишь в теории. Практический опыт показывает отсутствие линейной зависимости между объемом выпуска и совокупными затратами.

Добиться оптимального объема производства можно, в данном случае, применяя методику построения интерполяционного полинома. Полином - это многочлен. Интерполяция - это метод нахождения числа, что находится внутри какого-то интервала, путем приближения. В книге Иванова Ю.Б. «Конкурентоспособность предприятия» предлагается следующая схема построения интерполяционного полинома:1. Группировка опытных данных по объему производства таким образом, чтобы они образовывали арифметическую прогрессию. Сразу же определяем шаг этой прогрессии.2. На основании теоремы Вейерштрасса (конечная разность n-го порядка является конечная разность конечной разности (n-1) порядка) вычисляем конечные разности по совокупным затратам для каждого исследуемого периода.3. Рассчитываются параметры полинома по формуле:
где
– конечная разность n-го порядка;
n – уровень полинома;
4. Полученный полином рассмотрим, як функцию от х. Обозначим его у=f(x).

Ниже представлены данные по наращиванию выпуска сыра в 2011году с 1000 до 1800кг и динамика совокупных затрат при этом.
Объем производства
сыра т. (х)
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
Совокупные
затраты
сто тыс. грн.
(у)
0,355
0,404
0,4458
0,4805
0,5085
0,5305
0,5475
0,5608
0,572
Построим конечные разности и посмотрим, каков предельный уровень полинома:

Полином достиг предельного уровня – четвертого. Схема полинома имеет следующий вид:
Х
У
У
У
У
У
1
0,355
0,049
1,1
0,404
-0,0072
0,0418
0,0001
1,2
0,4458
-0,0071
0,0003
0,0347
0,0004
1,3
0,4805
-0,0067
0,0003
0,028
0,0007
1,4
0,5085
-0,006
0,0003
0,022
0,001
1,5
0,5305
-0,005
0,0003
0,017
0,0013
1,6
0,5475
-0,0037
0,0003
0,0133
0,0016
1,7
0,5608
-0,0021
0,0112
1,8
0,572

Поскольку четвёртые разности постоянные, искомая функция выразится, как полином четвертой степени:
+
(х-1,3)
Искомый полином имеет следующий вид:
При вычислении параметров a1, a2, a3, a4 учтем, что h = 0,1, тогда:
Найдем минимум функции затрат f(x):
Ветви параболы направлены вверх, поэтому наименьшее значение будет в вершине параболы.
Поскольку фактический выпуск в 1,8 тонн превзошел оптимальный в 1,638 тонн, то можно говорить о перепроизводстве размером 162 кг.
 

Вывод
Работая над работой пришли к следующим выводам: разные причины побуждают людей прибегать к помощи функций. Функции раскрывают понимание этого мира. Но более точный результат мы получим, если воспользуемся статистической зависимостью, которая наглядным способом описывает реальные процессы. Поэтому приблизительные расчеты являются одной из актуальных частей математики. Например, многие аспекты в прогнозировании базируется на нахождении линейной регрессии.Относительно квадратичной функции, то еще с древних времен люди пытались пользоваться свойствами этой функции. Сейчас, многое побуждает людей не останавливаться, а продолжать познания этого раздела в математике. Добиться наивысшего при заданных условиях результата (прибыли, мощности, скорости и т.д.) или понести наименьшие потери (времени, материала, энергии) - желание вполне понятно и естественно. Поэтому рассмотрены примеры исследовательских задач играют большую роль в экономике, технике, прогнозировании.