Мойсеєнко Л.А. Прояви математичного стилю мислення студентів в процесі розуміння творчих математичних задач

Проблема індивідуальних відмінностей творчого мисленнєвого процесу весь час знаходяться в полі зору психологів. Виявлення впливу індивідуальних відмінностей мислення розв’язуючого на його пошуковий процес в цілому і на складові цього процесу зокрема, з однієї сторони сприяє утворенню цілісної моделі творчого мислення, з іншої — розширює можливість його активізації через залучення індивідуально значущих прийомів. На питання, що пов’язані з індивідуальними відмінностями творчого мисленнєвого процесу можна знайти відповідь через їх вирішення в різних галузях науки, зокрема математики.

Мета даної статті проаналізувати вплив математичного стилю розв’язуючого на перебіг процесу розуміння творчої математичної задачі з акцентом на якісній характеристиці кожного з його мікроетапів. Для цього ми, досліджуючи пошуковий процес при розв’язувані творчих математичних задач студентами технічного внз (Івано-Франківського національного технічного університету нафти і газу), виділили їм притаманні математичні стилі і проаналізувати як вони проявляються в процесі розуміння.

Аналіз наукових досліджень і публікацій. Опираючись на різні ознаки, дослідники здійснюють поділ мисленнєвого процесу на види, типи і т.п. Досить розповсюдженим є виділення практичного і теоретичного мислення (наприклад, Рубінштейн С.Л. [13] і Теплов Б.М. [16]); продуктивного і репродуктивного типів мислення (наприклад, Степанов С.Ю., Семенов І.Н. [14]). Дещо інший підхід до поділу інтелектуальної діяльності на типи запропонував Моляко В.О. [11]. Це стратегіально- тактичний підхід. Він полягяє у вичлененні в інтелектуальній діяльності цілісної системи, що організовує і керує нею впродовж всього творчого процесу.

Що ж до математичного мислення, то в літературі зустрічається поділ на “алгебраїстів” і ’’геометрів.” Мова йде про те, що ряд суб’єктів, розв’язуючи мате-матичну задачу, віддають перевагу аналітичному чи наочному методу інтерпретації умови і пошуку розв’язку. Більш того, у дослідженнях Крутецького В.А. яскраво показано, що, коли у суб’єкта є вибір задачі (геометрична чи алгебраїчна), він також вибирає ту, що відповідає його типу математичного мислення [7]. Такий поділ фіксують і дослідники-математики і викладачі математики з багаторічним стажем.

Значна частина математиків і дослідників математичної творчості дотримувались поділу математиків на логіків та інтуїтивістів. При такому поділі до логіків відносили математиків із вузько спрямованим потоком думок, що продукують ідеї, які можна прослідкувати від зародження до позитивного результату (думки лежать на поверхні). Інтуїтивних математиків характеризує широке розсіювання думок, що продукуються в значній мірі неусвідомлено.

Останнім часом науковці звернули свою увагу на з’ясування мисленнєвого стилю, як індивідуальної ознаки творчого мисленнєвого процесу [наприклад, 1, 8, 12, 15]. Стиль займає рубіжне положення між індивідуальністю і середовищем, бо він є одночасно і винаходом людини, і засобом будь-якої діяльності чи активності, що спрямовано на перетворення середовища (стиль малювання, стиль письма, стиль пізнання тощо). Це створює підґрунтя для дослідження стилю людини або через вивчення її індивідуальності, або через вивчення особливостей тієї діяльності, в процесі якої даний стиль виник [3]. Обидва підходи були реалізовані в психології.

Математичний стиль — це така сукупність ознак, що відрізняє діяльність в галузі математики однієї людини від такої ж діяльності іншої, не стосуючись техно-логічних особливостей цієї діяльності, тобто — це проявлення багатоплановості діяльності людини в галузі математики і її математичних результатів. Математичний стиль — це математичний почерк, індивідуальна особливість людини, що вирішує математичну проблему.

Дослідження процесу розуміння в його динамічному аспекті, що проведені Рубинштейном С.Л. [13], Гуровою Л.Л. [2], Корніловим Ю.К. [6], Знаковим В.В. [4], Моляко В.О. [11], Коваленко А.Б. [5] та іншими, дають змогу констатувати, що розуміння задачі формується паралельно з пошуком розв’язку, є одним з процесів розв’язування, які забезпечують досягнення успішного результату. Саме це дає підстави припустити, що існують відмінності процесу розуміння творчої математичної задачі пов’язані з математичним стилем розв’язуючого. Дослідження цього аспекту проблеми індивідуальних відмінностей творчого математичного процесу в літературі зустрічаються рідко.

Результати експериментального дослідження. Вивчаючи математичний пошуковий процес, ми аналізували розуміння творчих математичних задач в різних ракурсах [9,10]. Зокрема нами було виділено ряд мікроетапів цього процесу: загальне ознайомлення з умовою задачі, розподіл умови на головну і другорядну частини, перекодування задачі на “свою ” мову, доповнення тексту ескізами, вивчення умови задачі на новому рівні, включення умови задачі в систему особистих знань.

Для проведення класифікації мисленнєвих дій студентів, спрямованих на розв’язання творчих математичних завдань, ми аналізували їх пошуковий процес при розв’язанні серії спеціально підібраних задач. Це були багатосмислові задачі, що містили приховану проблемність. Деякі з них передбачали кілька варіантів розв’язків. Кожен варіантів ґрунтувався на різних узагальнених схемах, що відо-бражали певний смисл задачі. За критерій поділу мислення на стилі ми брали місце і роль неусвідомлених мисленнєвих актів та характер перебігу усвідомлених логічних кроків в пошуковому процесі.

За характером пошукових дій ми мали можливість розділити студентів на групи. Підкреслимо, що майже для 78% учасників експериментального розв’язання був характерний ідентичний пошуковий процес розв’язку всіх задач. Ще у майже 16% студентів характер пошукових дій співпадав при розв’язанні більшості задач. У решти студентів зміст пошукового процесу змінювався від задачі до задачі. Тому, у перших двох випадках ми виділили три групи студентів, вважаючи їх методи розв’язання творчих математичних задач такими, що відповідають трьом різним математичним стилям. Ми дали їм назви: диференціальний, інтегральний і диференціально-інтегральний.

В результаті такого поділу було виявлено, що творча математична діяльність майже 51% студентів, які приймали участь в експерименті підпорядкована диференціальному стилю, майже 20% — інтегральному і майже 23% диференціально-інтегральному. Математичний стиль невеликої частини студентів (біля 6%) за результатами розв’язування вказаних задач виявити не вдалось.

Основний зміст мисленнєвого процесу диференціального стилю полягає у детальному аналізі задачної ситуації з метою зведення нової задачі в цілому або її частини до відомої суб’єкту. З цією метою і під цим кутом зору вивчається умова задачі, продукуються і перевіряються гіпотези процесу розв’язання. В результаті цього певні структурні елементи, їх комбінації спонукають суб’єкта до певних математичних дій. Часто вони розпочинаються навмання і сприяють більшою мірою вивченню умови задачі, ніж пошуку розв’язку. Ідея розв’язку як така, спочатку не окреслюється і є аморфним утворенням з різноможливими варіантами.

На загал — це аналітико-синтетична діяльність, що полягає у почерговому виконанні логічно можливих кроків, що сприяють зведенню нової задачної ситуації до відомих. В подальшому, ця діяльність конкретизується в пошук можливості провести той чи інший відомий мисленнєвий прийом в нових умовах. Логічні кроки доповнюються догадками, що, в свою чергу, прискорюють пошук.

Пошукова діяльність мислення студентів інтегрального стилю скеровується догадкою, що виникає на початкових етапах, без видимих, планомірно проведених мисленнєвих дій. Їх зміст часто полягає у реконструюванні складових компонентів, у відмові від традиційного бачення задачі. Підтвердження догадки, що виникла, шукається аналітико- синтетичним шляхом пізніше, за допомогою використання відомих логічних прийомів. Тому гіпотези, що виникають в подальшому пошуковому процесі, спрямовані на підтвердження (або заперечення) догадок, тобто стосуються методів їх логічного обґрунтування.

Мисленнєва діяльність, яку ми віднесли до диференціально- інтегрального стилю, одночасно опирається і на стандартні логічні кроки і на новаторські прийоми. Пошуковий процес може розпочинатися і з догадки, і з традиційних логічних кроків. При цьому в процесі розробки одного напрямку розв’язання раптово виникає інший, який може бути навіть досить віддаленим від першого. Така заміна настає неодноразово, легко, без відчутної залежності від розпочатих пошукових дій.

Дамо більш детальний аналіз відмінностей процесу розуміння математичної задачі пов’язаних із виділеними математичними стилями.

Процес розуміння творчої математичної задачі розпочинається із загального ознайомлення з умовою задачі. Навіть на цьому, самому першому, мікроетапі, ми спостерігали відмінності в пошукових діях студентів з різними стилями. Бо перші намагались від початку знайомства із задачею детально вчитуватись в її зміст, другі — миттєво “пробігали” очима текст (здавалось, що навіть мало що запам’ятовували), а треті, читали його у звичайному темпі. Однак пізніше з’ясовувалось, що і перші, і другі чітко орієнтувались в тому, що задача математична, могли здебільшого навіть вказати на розділ математики, до якого її слід віднести і описати її загальну схему: “Задача про рух човна, що рухається по-різному.”, “Мова йде про степеневе рівняння з параметром.” і т.п.

Результат першого ознайомлення суб’єктів із диференціально- інтегральним стилем мислення інший. Вони плутали рівняння з нерівностями, вид чотирикутника, напрям руху двох об’єктів (назустріч чи в протилежному напрямі). Тобто, у носіїв цього стилю частіше всього при першому знайомстві із задачею, формується досить розмита уява про її зміст. Вони явно потребували ще одного прочитання умови, після чого з легкістю змінювали ту, найпершу, характеристику задачі. Зауважимо, що більшість студентів цієї групи на наше запитання чи зрозуміла їм задача, давали стверджувальну відповідь.

У процесі розподілу умови задачі на головну і другорядну частини задачі, розв’язуючі виділяють те, що дано і те, що необхідно виконати. У перших — це з’ясування змісту умови і лише певною мірою вимоги, про що свідчить аналіз їх висловлювань і запитань на цьому етапі розв’язування. Другі, навпаки, концентрують більше уваги на вимозі задачі. Тобто, вони акцентують мисленнєві зусилля на тому, що необхідно знайти, довести, побудувати, в тих умовах, які запропоновані задачею. Головна частина для них — вимога і лише деякі частини умови, тому вони намагаються в першу чергу зорієнтуватися в змісті вимог до розв’язку. Варто зауважити, що така орієнтація настає досить швидко. Для диференціально-інтегрального стилю математичного мислення характерним є більш-менш рівноцінне дослідження обох “полюсів”: і умови, і вимоги. При цьому вони досліджуються почергово.

У подальшому студенти із диференціальним стилем скрупульозно розчленовують текст задачі на прості елементи, диференціюють їх на відомі і невідомі. Вони намагаються виокремити невідомі елементи з контексту і вивчати їх шляхом штучного включення в зв’язки з іншими елементами, з існуючими теоретичними фактами (теоремами, властивостями тощо). Відбувається процес уподібнення нового з відомим, за допомогою зіставлення його з відомими суб’єкту математичними конструкціями, на основі інтерпретації через відомі математичні прийоми. Це, в свою чергу, веде до висування і перевірки гіпотез, що в основному спрямовані на почергове детальне вивчення структурних елементів задачі. Такі гіпотези є різноспекторними, тому охоплюють значно більше математичної інформації, ніж та, яка приводить до розв’язку. Тобто, коли студент з таким стилем математичного мислення переводить задачу на “свою” мову, виявивши зону незрозумілого, він залучає широкий спектр аналогів (математичних задач, математичних елементів, математичних зв’язків між елементами) і за їх допомогою намагається пізнати незрозуміле.

Процес уподібнення нової задачі із відомими у студентів з інтегральним стилем настає досить швидко, а ті математичні ситуації, до яких відносить суб’єкт дану, можуть бути досить віддаленими від неї. “Свій” еталон виникає без видимого попереднього варіювання можливостями, без багатьох спеціальних дій, спрямова-них на вивчення структурних елементів. Такий еталон виникає у вигляді гіпотези, що охоплює ряд структурних елементів задачі і подальша мисленнєва діяльність буде спрямована на її реалізацію чи заперечення. Результатом “свого” бачення є синтетичний мисленнєвий продукт, що передбачає детальний аналіз в подальшому.

Носії диференціально-інтегрального стилю “свого” бачення задачі досягають за допомогою маніпуляцій структурними елементами, що в певний момент можуть бути детальним обстеженням відомих елементів задачі, а в інший — дослідженням ідеї уподібнення частини задачі з виниклим у пам’яті еталоном.

Зауважимо, що студенти з першими двома стилями, уподібнюючи нову задачу із своїми еталонами, мають досить чітке уявлення про них, а студенти з третім стилем такого уявлення не мають. На початковому етапі розв’язання вони не опираються на чітку уяву про еталон: “От як би, то ця задача була б про…”. Це найхарактерніший вислів студентів із інтегрально-диференціальним стилем мислення на етапі вивчення умови задачі.

При диференціальному стилі мислення суб’єкт намагається детальніше вивчити задачу, тому, по можливості, він часто вдається до різних ілюстрацій. Охоче використовує існуючі (якщо такі є) і створює власні. Такі ілюстрації вивчаються і будуються детально: поступово накладаються на рисунок додаткові побудови, вивчається характер взаємозв’язку між елементами і зображаються нові структурні зв’язки. Викінчена ілюстрація є достатньо обстеженою і на основі інформації, що надходить з тексту задачі, і на основі різноманітних домислів, уявлень розв’язуючого. Подальші мисленнєві дії будуть тісно пов’язані із обраною ілюстрацією. Ці студенти використовують ілюстрації, опираючись на існуючий суб’єктивний досвід, часто за їх допомогою намагаються впізнати у новій задачі елементи відомої. З ними пов’язуються гіпотези про розв’язок: їх зміст пов’язується з ілюстраціями незалежно від того чи мова йде про рисунок до геометричної задачі, чи про топологічну схему алгебраїчної задачі. Детальне обстеження “можливостей” схеми, рисунка перетворює його в “діючий” задачний елемент, що на певний час не піддається ревізуванню. Найтиповішим висловом в цьому випадку було: “Як видно з рисунка…”

При інтегральному стилі мислення якість “свого” ілюстрування дещо інша. Це швидше схеми, без надмірного деталізування. Варто відмітити, що новації спостерігаються навіть у побудові ілюстрацій: часто геометричні рисунки виконуються у нетрадиційному ракурсі, тексти задач “оснащуються” оригінальними топологічними зображеннями. Спостерігається тенденція до побудови декількох ілюстрацій однієї і тієї ж задачі, але всі вони є наближеннями до кінцевої ілюстрації. “Так буде ще наочніше,” — говорять вони в цьому випадку, змінюючи ілюстрацію за ілюстрацією. Носії цього стилю, опираючись на рисунки, схеми, все ж дуже тісно до них не прив’язуються. Тому ідея розв’язання у них часто може виникнути незалежно від ілюстрації, і в подальшому змінити саму ілюстрацію. Але на етапі вивчення умови, в процесі розуміння творчої математичної задачі, побудова ілюстрації для них — це процес поглиблення розуміння задачі. Те ж саме стосується процесу вербалізації схем, графіків, креслень.

При диференціально-інтегральному стилі математичного мислення суб’єкт, намагаючись ілюструвати нову задачу, будує кілька схем, креслень, що в подаль-шому будуть функціонувати паралельно. Вони є різними, бо базуються на різному “своєму” баченні задачі, що є неоднозначним, і змінюються наче під впливом бажа-ння наочно проекспериментувати із складовими задачі. Хоч такі експерименти врешті-решт зводяться до конкретної уяви про задачу, все ж нерідко залишається кілька варіантів схем, до яких в подальшому почергово буде звертатись суб’єкт, шукаючи розв’язок. Такі схеми, рисунки не можна розділити на правильний — неправильний, точний — неточний. Вони, швидше за змістом, демонструють акцент на різних елементах задач, різних її аспектах, тобто, є ілюстраціями різного розуміння сутності задачі.

З’ясування змісту деталей задачі в подальшому відбувається на тій же основі, що описана вище. Перші актуалізовують найрізноманітніші їх властивості, вивчають всеможливіші зв’язки між ними. Поступово більш детальніше вивчається зміст вимоги задачі. Так відбувається переформулювання задачі з подальшим акцентом на тому, що відомо для розв’язування переформульованої задачі, що ще необхідно визначити, як це можна визначити. Другі створюють за рахунок різних за змістом операцій нові математичні об’єкти і оперують в подальшому ними. Актуалізація знань і досвіду сприяє їх створенню. Задача переформульовується за допомогою таких новоутворень, бо через їх зміст досліджуються і оцінюються умова і завдання задачі, що, в свою чергу, формує уяву про доцільність використання деякої актуалізованої інформації і зміст тієї, яку ще необхідно добути (формується сутність задачі). І перші, і другі виявляють для себе в такий спосіб пробіли в розумінні умови задачі і в подальшому намагаються їх подолати. Такі пробіли — зони нерозуміння — локалізовуються на певних місцях в змісті задачі.

При диференціально-інтегральному стилі мислення, обстеження деталей спрямовується на з’ясування умови і вимоги задачі одночасно. А переформулювання задачі по-своєму не є чітким і одноваріантним. Воно містить прогалини, що не мають певної локалізації (кожен варіант свого переформулювання задачі виявляє свої прогалини). І так як паралельно існують кілька варіантів задачі переформульованих “по-своєму”, то, залежно від їх змісту, прогалини існують в різних місцях. Нерідко такі переформулювання стосуються лише прочитання умови або лише прочитання вимоги. Хоч в цілому, варто відмітити, що задача на цьому етапі постає перед суб’єктом у вигляді цілісної системи математичних об’єктів, точніше, у вигляді кількох варіантів цілісної системи.

Висновки. Феномен математичного стилю, що виявляється вже на самих ранніх мікроетапах процесу розуміння математичної задачі і має місце впродовж всього процесу, проявляється в саморегуляції пошукового математичного процесу; в індивідуальному контролі, оцінці і корекції власних дій розв’язуючим; в тому наскільки він при цьому цілеспрямований, здатний враховувати зміни математичної ситуації, що виникають в процесі дослідження умови задачі.

Враховуючи те, що процес розуміння задачі є лише складовою пошукового математичного процесу, цікавим є аналіз характеру впливу виділених нами математичних стилів на інші його складові: формування задуму розв’язку, апробацію розв’язку. Ці питання потребують подальшого вивчення.

1. Войцехович В.Э. Господствующие стили математического мышления /Стили в математике: социокультурная философия математики. — С. Пб.: РХГИ, 1999. — С.495-505.
2. Гурова Л.Л. Интуиция и логика в психологической структуре решения задач /Семантика, логика, интуиция в мыслительной деятельности человекаю — М.: Педагогика, 1979. — С. 8-45.
3. Дружинин В.Н. Психодиагностика общих способностей. — М.: Издательский центр «Академия”, 1996. — 224 с.
4. Знаков В.В. Понимание в познании и общении. — М.: Изд-во РАН Института психологии, 1994. — 237 с.
5. Коваленко А.Б. Психологія розуміння. — Київ: Геропринт, 1999.- 184 с.
6. Корнилов Ю.К. Психологические проблемы понимания. — Ярославль: Изд-во Ярослав. ун-та, 1979. — 80 с.
7. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. — М.: Просвещение, 1968. — 432 с.
8. Кудряшов А.Ф. Модальные онтологии в математике /Стили в математике: социокультурная философия математики. — С. Пб.: РХГИ, 1999. — С. 130-135.
9. Мойсеєнко Л.А. Про психологію розуміння творчих математичних задач //Вісник Прикарпатського університету. Філософські і психологічні науки. — Івано-Фрінківськ : Плай, 2002. — Вип. ІІІ. — С. 174180.
10. Мойсеєнко Л.А. Психологія розуміння творчих математичних задач різних класів //Актуальні проблеми загальної психології. Збірник наукових праць Інституту психології ім. Г.С.Костюка АПН України. — 2001. — Т.3. — Ч.8. — С. 170-179.
11. Моляко В.А. Психология решения школьниками творческих задач. — К.: Рад. шк., 1983. — 101 с.
12. Перминов В.Я. Априорность и реальная значимость исходных представлений математики. /Стили в математики: социокультурная философия математики. — С. Пб.: РХГИ, 1999.- С. 80-100.
13. Рубинштейн С.Л. О мышлении и путях его исследования. — М.: Изд-во АН СССР, 1958. — 147 с.
14. Степанов С.Ю., Семенов И.Н. Методологический анализ психологических подходов к проблеме формирования твлрчнского мышления /Философско-методологические аспекты гуманитарных наук. — М.: Политиздат, 1981 . — С. 69-72.
15. Султанова Л.Б. Роль интуиции и неявного знания в формировании стиля математического мышления /Стили в математики: социокультурная философия математики. — С. Пб.: РХГИ, 1999. — С. 66-76.
16. Теплов Б.М. Ум полководца /Проблемы индивидуальных различий. — М.: АПН РСФСР, 1961. — 536 с.